Raketenantrieb mittels Tabellenkalkulation
Die Modellrechnung mit dreimaligem Ausstoß kann man tabellarisch zusammenfassen:
\(N\): Zahl der Ausstöße
\(m\) : Gesamtmasse (veränderlich!)
\(m_{\text{A}}\) : Anfangsmasse der gesamten Rakete
\(\Delta v\) : Geschwindigkeitsänderung der Rakete beim Ausstoß
\(v\) : Geschwindigkeit der Rakete nach dem Ausstoß
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\(N\)
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\(m\) | \(\Delta v\) | \(v\) |
|---|---|---|---|
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0
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\(m_0=m_{\text{A}}\)
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---
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\(v_0=\;0\)
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1
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\(m_1=m_0 + \Delta m\)
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\[\Delta {v_{10}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_0}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
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\(v_1=v_0 + \Delta v_{10}\)
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2
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\(m_2=m_1 + \Delta m\)
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\[\Delta {v_{21}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_1}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
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\(v_2 = v_1 + \Delta v_{21}\)
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3
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\(m_3=m_2 + \Delta m\)
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\[\Delta {v_{32}} = \frac{{\Delta m}}{{{m_2}}} \cdot {v_{{\rm{rel}}}}\]
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\(v_3 = v_2 + \Delta v_{32}\)
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Hieraus ergibt sich der folgende Algorithmus:
\[ m_\text{neu} = m_\text{alt} + \Delta m \]
\[ \Delta v = \frac{\Delta m}{m_\text{alt}} \cdot v_\text{rel} \]
Beachten Sie, das Vorzeichen von
\[ \Delta m = \frac{m_\text{E} - m_\text{A}}{N} \]
\[ v_\text{neu} = v_\text{alt} + \Delta v \]
In dem folgenden Tabellenblatt kann man die Anfangsmasse \(m_{\text{A}}\) und die Endmasse \(m_{\text{E}}\) des gesamten Gefährts, die Zahl \(N\) der Ausstöße und die Relativgeschwindigkeit \(v_{\text{rel}}\) vorgeben. Aus diesen Werten berechnet die Tabellenkalkulation dann jeweils die Geschwindigkeitszunahme \(\Delta v\) und die Geschwindigkeit der Rakete.
Aufgaben
Es gilt:
\( v_\text{B} = |v_\text{rel}| \cdot \ln \left( \frac{m_\text{A}}{m_\text{E}} \right) \)
Das Verhältnis \( m_\text{A} / m_\text{E}\) wird als Massenquotient \(Q\) bezeichnet
Aufgabe
a) Variieren Sie die Zahl \(N\) der Ausstöße bei festem \(m_{\text{A}}, \, m_{\text{E}}\) und \(v_{\text{rel}}\). Wie ändert sich durch den "verfeinerten" Ausstoß die Endgeschwindigkeit \(v_{\text{B}}\) (Brennschlussgeschwindigkeit) des Wagens (der Rakete)?
b) Variieren Sie bei festem \(N, \, m_{\text{A}}\) und \(m_{\text{E}}\) die Ausstoßgeschwindigkeit \(v_{\text{rel}}\) und machen Sie eine Aussage über den Zusammenhang der Endgeschwindigkeit \(v_{\text{B}}\) mit \(v_{\text{rel}}\).
c) Variieren Sie bei festem \(N, \, m_{\text{A}}\) und \(v_{\text{rel}}\) die Masse \(m_{\text{E}}\). Welchen Einfluss hat die Verringerung von \(m_{\text{E}}\) auf die Endgeschwindigkeit \(v_{\text{B}}\)?
d) Fassen Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben a-c zusammen und geben Sie eine Empfehlung, was man beim Bau einer Rakete beachten muss, wenn man eine möglichst hohe Endgeschwindigkeit erreichen will.
e) Die Theorie besagt, dass die Endgeschwindigkeit einer einstufigen Rakete mit der unten angegebenen Beziehung berechenbar ist (Raketengleichung). Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit \(v_{\text{B}}\) mit obiger Formel für solche Werte, die Sie auch bei der Tabellenkalkulation verwendet haben und vergleichen Sie mit der Endgeschwindigkeit der Tabellenkalkulation für relativ hohe \(N \gt 500\). Hinweis \(\ln\) bedeutet "Logarithmus naturalis" (Logarithmus zur Basis e). Diese Funktion finden Sie auf ihrem Taschenrechner.