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Aufgabe

Massenquotient einer mehrstufigen Rakete

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a)

Zeige am Beispiel einer dreistufigen Rakete, dass der Massenquotient \(\frac{{{m_{\rm{A}}}}}{{{m_{\rm{E}}}}}\) einer mehrstufigen Rakete gleich dem Produkt der einzelnen Massenquotienten ist (\(v_{\rm{rel}}\) ist bei allen Stufen gleich).

b)

Die Brennschlussgeschwindigkeit einer dreistufigen Rakete kann auf zwei Arten berechnet werden:

In einem einzigen Schritt durch Anwendung der Raketengleichung auf die "Gesamtrakete".

Durch Berechnung und anschließende Addition der Brennschlussgeschwindigkeiten der einzelnen Stufen.

Zeige, dass beide Wege zum gleichen Ergebnis führen.

Hinweis: Den gewünschten Geschwindigkeitsgewinn bei der Mehrstufenrakete erkauft man sich mit einer Abnahme der Nutzlast. Da sich die Nutzlastverhältnisse \(\frac{{{m_{{\rm{Nutz}}}}}}{{{m_{\rm{A}}}}}\) der einzelnen Stufen ebenfalls multiplizieren. Diese Verhältnisse sind aber stets kleiner als Eins, also wird das Nutzlastverhältnis mit zunehmender Stufenzahl immer kleiner. Einen günstigen Kompromiss zwischen Geschwindigkeitszunahme und Nutzlastabnahme erreicht man bei drei- bis vierstufigen Raketen. Für große Nutzlasten baut man Raketen mit möglichst wenig Stufen, dafür gelangt man wegen der dann geringeren Endgeschwindigkeit nur in niedrige Umlaufbahnen.

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a)

Für die einzelnen Stufen gilt \[{Q_1} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}}\;;\;{Q_2} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,2}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}}\;;\;{Q_3} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,3}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}}\] Für die Gesamtrakete gilt \[Q = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}}\] Bildet man das Produkt \({Q_1} \cdot {Q_2} \cdot {Q_3}\), so erhält man \[{Q_1} \cdot {Q_2} \cdot {Q_3} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}} \cdot \frac{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}} \cdot \frac{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,2}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}} = \frac{{{m_{{\rm{A}}{\rm{,1}}}}}}{{{m_{{\rm{E}}{\rm{,3}}}}}} = Q\quad (1)\]

b)

Berechnung in einem Schritt: \[{v_{{\rm{B}}{\rm{,ges}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot ln\left( Q \right)\] Berechnung der Brennschlussgeschwindigkeiten der einzelnen Stufen: \[{v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot ln\left( {{Q_1}} \right)\;;\;{v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot ln\left( {{Q_2}} \right)\;;\;{v_{{\rm{B}}{\rm{,3}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot ln\left( {{Q_3}} \right)\] Bildet man die Summe \({v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,3}}}}\), so erhält man mit Gleichung \((1)\) \[{v_{{\rm{B}}{\rm{,1}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,2}}}} + {v_{{\rm{B}}{\rm{,3}}}} = {v_{{\rm{rel}}}} \cdot \left( {ln\left( {{Q_1}} \right) + ln\left( {{Q_2}} \right) + ln\left( {{Q_3}} \right)} \right) = \ln \left( {{Q_1} \cdot {Q_2} \cdot {Q_3}} \right) = \ln \left( Q \right)\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Impulserhaltung und Stöße