Quantenobjekt Photon

Quantenphysik

Quantenobjekt Photon

  • Wie überträgt Licht seine Energie?
  • Was sind eigentlich Photonen?
  • Licht – auch nicht mehr als Billardkugeln?
  • Können Teilchen aus Strahlung entstehen?
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Energie des Photons (nach Einstein):
\[{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f\quad(1)\]

Das Licht im Photonenbild

  • Bei der Ausbreitung von Licht ist die Energie nicht kontinuierlich über den Raum verteilt, sondern in einer endlichen Zahl von Energiequanten lokalisiert. Licht ist ein Strom von Energiepaketen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, unteilbar sind und nur als Ganzes erzeugt oder absorbiert werden können.

  • Monochromatisches (einfarbiges) Licht besteht aus Lichtquanten einheitlicher Energie.

  • Bei gleicher Frequenz bedeutet intensiveres Licht das Auftreten von mehr Lichtquanten pro Zeiteinheit, aber nicht das Auftreten von energiereicheren Photonen.
 

hohe Intensität

niedrige Intensität

Hinweise:

  • Die bildliche Darstellung der Photonen ist etwas problematisch. Stellt man sie als kleine Kügelchen dar, könnte man schnell Assoziierung mit newtonschen Korpuskeln hervorrufen. Hier wurde ein Wellenpaket als Darstellung gewählt, um daran zu erinnern, dass die Photonenenergie aus der Frequenz des Lichtes berechnet werden kann.

  • Die Photonen wurden hier farbig dargestellt um monochromatisches Licht (Licht einer Frequenz) von nicht monochromatischem Licht unterscheiden zu können.

Photoeffekt

Begriffserläuterung
Trifft geeignete elektromagnetische Strahlung auf einen Festkörper, so können aus dessen Oberfläche Elektronen freigesetzt werden. Man bezeichnet diese Erscheinung als äußeren Photoeffekt (oder auch als äußeren lichtelektrischer Effekt).

Deutung des Photoeffekts im Photonenbild
Im einsteinschen Photonenbild kann die Energie eines Photons \({E_{ph}} = h \cdot f\) dazu verwendet werden, die für ein Elektron des Festkörpers notwendige Ablösearbeit WA zu verrichten und dem ausgelösten Elektron die kinetische Energie Ekin,el zu erteilen. Nach dem Energiesatz gilt dann:

\[{E_{ph}} = {W_A} + {E_{kin,el}}\] oder \[h \cdot f = {W_A} + {E_{kin,el}}\;\;\left( 2 \right)\]

Hinweise:

  • Als inneren Photoeffekt bezeichnet man die Erscheinung, dass im Inneren von Körpern, in die elektromagnetische Strahlung eindringen kann, von Atomen Elektronen abgelöst werden und so die elektrische Leitfähigkeit des Körpers zunimmt.

  • Ekin,el ist die maximal mögliche, beim Photoeffekt auftretende kinetische Energie der Elektronen.

Das Photonenbild löst Verständnisprobleme, die bei klassischer Betrachtung des Photoeffekts auftreten 

Mit dem Photonenbild des Lichts können die mit dem klassischen Wellenmodell des Lichts schwer verständlichen Versuchsergebnisse, welche beim Photoeffekt zu beobachten sind, zwanglos erklärt werden.

Im Wellenmodell schwer verständlicher Effekt
Erklärung im Photonenbild

Existenz einer oberen Grenzwellenlänge für das Eintreten des Photoeffekts (d.h. beim Überschreiten einer Grenzwellenlänge λG findet kein Photoeffekt statt).

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Wenn die Photonenenergie kleiner oder gleich der Austrittsarbeit ist, kommt es zu keiner Auslösung von Elektronen.

\[h \cdot f \leq W_A    \Rightarrow    f \leq \frac{W_A}{h}   \Rightarrow    \frac{c}{\lambda}  \leq \frac{W_A}{h}\]

\[\lambda \geq \frac{h\cdot c}{W_A}    \underrightarrow{\small{\text{     Grenzwellenlänge     }} }   \lambda_G = \frac{h \cdot c}{W_A}\]
 

"Augenblickliches" Einsetzen des Photoeffekts bei Bestrahlung einer geeigneten Oberfläche.

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Die Energie der elektromagnetischen Strahlung ist nicht kontinuierlich über den Raum, sondern auf die "Energiepakete Photonen" verteilt.


Ein Photon löst (bei entsprechenden Voraussetzungen) in einem "Elementarakt" ein Elektron aus der Oberfläche des Körpers aus.

Unabhängigkeit der kinetischen Energie der Photoelektronen von der Lichtintensität.

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Höhere Lichtintensität bedeutet im Photonenbild eine höhere Photonendichte.

In der Bestimmungsgleichung (2) für die kinetische Energie der Elektronen kommt die Photonendichte bzw. die Intensität J nicht vor.


Impuls des Photons
Mit Hilfe der Beziehung \(p = \frac{E}{c}\) aus der Relativitätstheorie sowie den bekannten Beziehungen \({{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f}\) und \(\lambda  = \frac{c}{f} \Leftrightarrow \frac{f}{c} = \frac{1}{\lambda }\) erhält man für den Photonenimpuls:

\[{p_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{{E_{{\rm{Ph}}}}}}{c} = \frac{{h \cdot f}}{c} = \frac{h}{\lambda }\]

Hinweise:

  • Wenn Sie an der Herleitung der Formel für den Photonenimpuls interessiert sind, so gehen Sie zu der folgenden Seite.

  • Wenn Sie weitere Experimente und Effekte (z.B. Comptoneffekt) zum Photonenimpuls kennen lernen wollen, so können Sie zu den entsprechenden Seiten für die Kollegstufe des G9 gehen.

Masse des Photons
Mit Hilfe der Beziehung \(E = m \cdot {c^2}\) aus der Relativitätstheorie sowei der bekannten Beziehung \({{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f}\) erhält man für die Masse des Photons:

\[E = m \cdot {c^2} \Leftrightarrow m = \frac{E}{{{c^2}}} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{h \cdot f}}{{{c^2}}}\]

Hinweise:

Energie-Impuls-Beziehung beim Photon
Wie schon bei der Herleitung der Impulsformel für das Photon verwendet wurde (siehe oben), gilt folgender Zusammenhang zwischen Energie und Impuls beim Photon:

\[{E_{{\rm{Ph}}}} = c \cdot {p_{{\rm{Ph}}}}\]

 

Treffen energiereiche Photonen auf ein Atom, so kommt es zu Wechselwirkungen mit den Elektronen der Atomhülle.

  • A. H. COMPTON bestrahlte um 1922 einen Streukörper mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge λ. Er stellte fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge λ' aufwies. Im Photonenbild bedeutet dies, dass die Photonen der ankommenden Strahlung eine höhere Energie haben, als die Photonen der Streustrahlung. COMPTON ging davon aus, dass die ankommenden Photonen bei einem elastischen Stoß mit quasifreien Elektronen der äußerden Atomhülle Energie verlieren.

  • Bei einem elastischen Stoß mit fest gebundenen inneren Elektronen verliert das Photon nahezu keine Energie, das innere Elektron bleibt gebunden. Daher enthält die Streustrahlung auch einen Anteil, dessen Wellenlänge mit der Wellenlänge der ursprünglichen Strahlung übereinstimmt.

Aufbau und Durchführung

COMPTON verwendete 1923 die nebenstehend skizzierte Anordnung, bei der er einen fein ausgeblendeten Röntgenstrahl auf einen Streukörper treffen ließ und die gestreute Strahlung mittels einer Braggschen-Drehkristallanordnung auf ihre Wellenlänge untersuchte.

Beobachtung

1.

In der Streustrahlung tritt neben der Wellenlänge λ der ursprünglichen Strahlung der Röntgenröhre noch die größere Wellenlänge λ´ auf.

2.

λ´-λ wird mit größerem Winkel ϑ größer. (siehe rechts)

3.

Je größer der Winkel ϑ , desto geringer wird der verlustfrei reflektierte Anteil mit Wellenlänge λ und um so größer wird der Anteil mit der größeren Wellenlänge λ´. (siehe rechts)

4.

Ändert man das Material des Streukörpers bei gleichbleibender Strahlung, so bleibt der Wellenlängenunterschied λ´ - λ gleich. (siehe rechts)

5.

Der Anteil verlustfrei reflektierter Strahlung mit Wellenlänge λ wird um so größer, je höher die Ordnungszahl des Elements. (siehe rechts)


Deutung: Vollelastischer Stoß mit einem Elektron.
 

Theoretische Herleitung (nur für Experten)

Man deutet den COMPTON-Effekt als vollelastischen Stoß zwischen dem Photon und einem freien Elektron.
Das Photon gibt dabei einen Teil seiner Energie und seines Impulses an das Elektron ab.

Um nicht zu viele Indizes zu verwenden sollen für die Herleitung folgende Bezeichnungen verwendet werden:

 
Energie
Impuls
Wellenlänge
Photon vor dem Stoß
E
p
λ
Photon nach dem Stoß
λ´
Elektron vor dem Stoß
Eo
0
 
Elektron nach dem Stoß
Ee
pe
 


Es gelten die folgenden physikalischen Gesetze:

1.

Energieerhaltungssatz: \(E + E_0 = E' + E_e\)     (1)



2.

Impulserhaltungssatz (vektoriell) \(\vec{p} = \vec{p}’ + \vec{p}_e\)

dies führt über den Kosinussatz zur Gleichung \(p_e^2 = p^2 + p'^2 -2pp'\cos\varphi \)  (2)

3.

Die Energieimpulsbeziehungen:
Elektron: \(E_e^2 = E_0^2 + c^2 \cdot p_e^2\)     (3a)
Photon vorher: \(E = p \cdot c\)           (3b)
Photon nachher: \(E' = p' \cdot c\)      (3c)

 

Vorgehen:
Gesucht ist die Energie oder der Impuls oder die Wellenlänge des gestreuten Photons in Abhängigkeit von den Daten des ungestreuten Photons und des Winkels φ.
Strategie: Man setzt die einfacheren Gleichungen (1) und (3) in die kompliziertere Gleichung (2) ein.

(1')    \(E_e = E + E_0 – E'\)      (3a)   \(p_e^2 = \frac{E_e^2 – E_0^2}{c^2} = \frac{(E+ E_0-E’)^2- E_0^2}{c^2} \)              (3b)    \(p = \frac{E}{c}\)               (3c)    \(p‘ = \frac{E‘}{c}\)           in (2) ergibt
 
\[\frac{(E + E_0 – E')^2-E_0^2}{c^2} = \frac{E^2}{c^2} + \frac{E'^2}{c^2} – 2 \frac{E\cdot E'}{c^2} \cos \varphi                                                 |\cdot c^2\]
Nun muss man noch vereinfachen:      
\[E^2 + E_0^2 + E'^2 + 2E\cdot E_0 – 2E\cdot E' – 2 E' \cdot E_0 – E_0^2 = E^2 + E'^2-2E \cdot E' \cos \varphi\]
\[\Rightarrow 2E \cdot E_0 – 2E \cdot E' – 2E'\cdot E_0 = -2E\cdot E' \cos \varphi                                    | \cdot \frac{1}{E \cdot E'\cdot E_0}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{E'}-\frac{1}{E_0}-\frac{1}{E} = \frac{-\cos \varphi}{E_0}\]
Durch Einsetzen der Energieformel des Photons ergibt sich
\[\frac{\lambda'}{h \cdot c} - \frac{\lambda}{h \cdot c}  = \frac{1}{E_0}\cdot (1-\cos \varphi)                         | \cdot (h\cdot c)\]
\[\Rightarrow \lambda'-\lambda = \frac{h\cdot c}{m_{0,e}\cdot c^2}(1-\cos\varphi)\]

\[\Rightarrow \Delta\lambda = \lambda_c(1-\cos\varphi)\]


mit der sogenannten COMPTON-Wellenlänge \(\lambda_c = \frac{h}{m_{0,e}\cdot c} = 2,42 \cdot 10^{-12}m\)

Merkregel: Ein Photon mit der COMPTON-Wellenlänge \({\lambda _{\rm{C}}}\) hat wegen
\[{E_{{\rm{Ph}}{\rm{,}}{\lambda _{\rm{C}}}}} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{C}}}}} = h \cdot \frac{c}{{\frac{h}{{{m_{0,e}} \cdot c}}}} = {m_{0,e}} \cdot {c^2} = {E_{0,e}}\]
die Energie, die der Ruhemasse des Elektrons entspricht.

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