Optische Linsen

Optik

Optische Linsen

  • Was sind Sammellinsen …
  • … und was Zerstreuungslinsen?
  • Wie erzeugen Linsen eigentlich Bilder?
  • Was sind virtuelle …
  • … und was reelle Bilder?

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Konvexlinsen, auch Sammellinsen genannt, brechen parallel einfallende Lichtstrahlen so, dass sich die Lichtstrahlen im Brennpunkt kreuzen.
  • Konkavlinsen, auch Zerstreuungslinsen genannt, brechen parallel einfallende Lichtstrahlen so, dass sich die Lichtstrahlen im Raum zerstreuen.
  • Die Sammel- bzw Zerstreuungswirkung von Linsen kann mithilfe der Brechungseigenschaften von Prismen erklärt werden.
 

Sphärische Linsen

Viele einfache Linsen sind spährische Linsen. Das heißt, dass mindestens eine Seite der Linse ein Oberflächenausschnitt einer Kugel ist. Man unterscheidet zunächst zwei Linsentypen - Konvexlinsen (Sammellinsen) und Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen).

Stahlenverlauf an Linsen

Konvexlinsen heißen auch Sammellinsen, weil sie ein gerade einfallendes paralleles Lichtbündel nach dem Durchlaufen der Linse in einem Punk, dem Brennpunkt, sammeln. Konkavlinsen heißen auch Zerstreuungslinsen, weil sie ein gerade einfallendes paralleles Lichtbündel nach dem Durchlaufen der Linse auseinander laufen lassen bzw. zerstreuen. Diesen Strahlenverlauf an den Linsen kannst du mithilfe der Brechungseigenschaften von Prismen verstehen:

Es ergibt sich also folgender Strahlverlauf an den Linsen:

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Bei Konvexlinsen ist der Brennpunkt \(\rm{F_1}\) der Punkt, in dem sich parallel zur optischen Achse verlaufende Lichtstrahlen nach der Brechung durch die Linse auf der optischen Achse schneiden.
  • Bei Konkavlinsen ist der Brennpunkt \(\rm{F_1}\) der Schnittpunkt der nach rückwärts verlängerten, gebrochenen Strahlen.
  • Die Brennweite \(f\) ist der Abstand des Brennpunktes zu Linsenebene.
  • Gegenstandsweite \(g\) und Gegenstandsgröße \(G\) beziehen sich auf den abzubildenden Gegenstand, Bildweite \(b\) und Bildgröße \(B\) beziehen sich auf das Bild des Gegenstandes.

Begriffe beim Strahlengang durch Konvexlinsen

Die Linsenebene ist die Ebene durch die Linsenmitte, senkrecht zur optischen Achse.

Die optische Achse ist die auf der Linsenebene senkrecht stehende Gerade durch die Linsenmitte.

Der Brennpunkt \(\rm{F_1}\) (Fokus) ist der Punkt, in dem sich parallel zur optischen Achse verlaufende Strahlen nach der Brechung durch die Linse auf der optischen Achse schneiden.

Die Brennweite \(f\) ist der Abstand des Brennpunkts von der Linsenmitte.

Begriffe beim Strahlengang durch Konkavlinsen

Die Linsenebene ist die Ebene durch die Linsenmitte, senkrecht zur optischen Achse.

Die optische Achse ist die auf der Linsenebene senkrecht stehende Gerade durch die Linsenmitte.

Der Brennpunkt \(\rm{F_1}\) ist der Schnittpunkt der nach rückwärts verlängerten, gebrochenen Strahlen.

Die Brennweite \(f\) ist der Abstand des Brennpunkts von der Linsenmitte.

Größen bei Linsenabbildungen

Die Gegenstandsgröße \(G\) ist die Höhe des Gegenstandes, der abgebildet wird.

Die Gegenstandsweite \(g\) ist der Abstand zwischen dem Gegenstand, der abgebildet wird, und der Linsenebene.

Die Bildgröße \(B\) ist die Höhe des Bildes, wenn dieses scharf abgebildet wird.

Die Bildweite \(b\) ist der Abstand zwischen dem scharf abgebildeten Bild und der Linsenebene.

Linsen besitzen auf beiden Seiten der Linsenebene im Abstand der Brennweite \(f\) einen Brennpunkt. Man bezeichnet diese mit \(\rm{F_1}\) und \(\rm{F_2}\).

Reelle und virtuelle Bilder

Bilder werden reelle Bilder genannt, wenn vom Ort des Bildes tatsächlich Lichtstrahlen ausgehen. Reelle Bilder können mithilfe eines Schirms aufgefangen bzw. darauf abgebildet werden. Solche Bilder entstehen z.B. bei der Abbildung an Sammellinsen, wenn \(g>f\) ist.
Gehen vom wahrgenommenen Ort eines Bildes in Realität keine Lichtstrahlen aus, so spricht man von einem virtuellen Bild. Virtuelle Bilder können nicht mithilfe eines Schirms aufgefangen werden. Solche Bilder entstehen bei Abbildungen an Zerstreuungslinsen oder an Spiegeln.

Verständnisaufgabe

Markiere die fachlich korrekten Aussagen über die Begriffe bei Linsen und Abbildungen.

Lösungsvorschläge
Lösung

Richtig sind die Antworten a), c) und d). Bildgröße \(B\) und Gegenstandsgröße \(G\) sind in der Regel nicht gleich groß.

Eine Konvexlinse entwirft von einem Gegenstand mit der Gegenstandsgröße \(G\), der sich im Abstand der Gegenstandsweite \(g\) vor einer Linse befindet, ein höhen- und seitenverkehrtes Bild (Voraussetzung: \(g > f\)). Das scharfe Bild mit der Bildgröße \(B\) entsteht in einer bestimmten Entfernung, der Bildweite \(b\) hinter der Linse. Die Bildweite \(b\) hängt von der Brennweite \(f\) und der Gegenstandsweite \(g\) ab.

Das von der Sammellinse entworfene reelle Bild kann mit Hilfe eines Schirms sichtbar gemacht werden. Entfernt man den Schirm, so existiert das Bild als sogenanntes "Luftbild", welches z.B. mit einer Kamera fotografiert werden kann.

Man darf sich den Abbildungsvorgang nicht so vorstellen, dass vom Gegenstand eine Art Bild auf die Linse zuwandert, von der Linse "umgedreht" wird und dann in der Entfernung \(b\) ein Bild entsteht (vgl. die folgende Animation):

Man denkt sich stattdessen den Gegenstand in viele Punkte aufgeteilt, die jeweils Quelle für ein divergentes Lichtbündel sind. Diese Quellen bildet die Linse Punkt für Punkt ab und erzeugt somit ein Bild. Die folgende Animation erläutert diesen Gedankengang an zwei ausgewählten Punkten des Mannes ("Kopfpunkt" und "Fußpunkt).

Wird ein Teil der Linse z.B. durch eine Lochblende oder - wie in der Animation - durch eine Halbebene abgedeckt, so entsteht trotzdem ein vollständiges Bild! Das Bild wird nur etwas dunkler (lichtschwächer), da weniger Lichtstrahlen zum Bild beitragen.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Mithilfe der drei Hauptstrahlen kannst du konstruieren auf welchen Bildpunkt P' ein Gegenstandspunkt P an einer Sammel- oder Zerstreuungslinse abgebildet wird.
  • Die Hauptstrahlen (Konstruktionsstrahlen) sind der achsenparallele Strahl, der Mittelpunktsstrahl und der Brennpunktstrahl.
  • Die Hauptstrahlen sind nur ein Hilfsmittel zur Bestimmung des Bildpunktes P'. Sie entsprechen nicht dem Lichtbündel, das in der Realität zur Bildentstehung beiträgt.

Die folgenden Inhalte kannst Du auch mithilfe von zwei Erarbeitungsaufgaben erlernen.

Die drei Hauptstrahlen (Konstruktionsstrahlen)

Um zu bestimmen, wohin ein Bildpunkt P an einer Linse abgebildet wird, kannst du Anhand des Verlaufs der drei Hauptstrahlen (Konstruktionsstrahlen) nutzen.

  • (1) Parallelstrahl: verläuft vom Bildpunkt aus parallel zur optischen Achse bis zu Linsenebene und wird dort gebrochen. An einer Sammellinse wird der Parallelstrahl so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt F1 verläuft. An einer Zerstreuungslinse so, als würde er aus dem linken Brennpunkt F1 kommen.
  • (2) Mittelpunktsstrahl: verläuft druch die Mitte der Linse (Schnittpunkt der Linsenebene mit der optischen Achse) und sowhl an einer Sammel- als auch an einer Zerstreuungslinse gerade weiter.
  • (3) Brennpunktstrahl (Brennstrahl): verläuft an einer Sammellinse durch den linken Brennpunkt F2 und wird an der Linsenebene so gebrochen, dass er anschließend parallel zur optischen Achse verläuft. An einer Zerstreuungslinse verläuft der Brennpunktstrahl in Richtung des rechten Brennpunktes F2. An der Linsenebene wird er so gebrochen, dass er anschließend parallel zur optischen Achse verläuft.

An der Sammellinse schneiden sich die Hauptstrahlen rechts der Linse in einem Punkt. Dieser Punkt zeigt dir, an welcher Stelle P' der Gegenstandspunkt P von der Linse scharf abgebildet wird.

An einer Zerstreuungslinse schneiden sich die Hauptstrahlen rechts der Linse nicht. Hier musst du die Strahlen rückwärtig verlängern. Diese verlängerten Strahlen schneiden sich wieder in einem Punkt P', der dir zeigt, wohin der Bildpunkt P von der Linse abgebildet wird.

Sowohl bei Abbildung durch eine Sammellinse als auch bei Abbildung durch eine Zerstreuungslinse genügen dir zwei Hauptstrahlen, um den Bildpunkt P' zu bestimmen. Den dritten Strahl kannst du zur Kontrolle nutzen.

Hauptstrahlen als Hilfsmittel zur Bildkonstruktion

Das Bild eines kompletten Gegenstands kannst du konstuieren, indem du mittels der Konstruktionsstrahlen Bildpunkt für Bildpunkt konstruiert und zum Gesamtbild zusammensetzt. Dabei ist es unerheblich, ob die Konstruktionsstrahlen die reale Linse treffen. Die Konstruktionsstrahlen sind nur ein Hilfsmittel zur Konstruktion des Bildes. Wie du in der folgenden Animation sehen kannst, entsprechen sie insbesondere nicht dem Verlauf des Lichtbündels, dass zur Bildentstehung beiträgt.

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Linsengleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Brennweite \(f\) einer Linse, der Gegenstandsweite \(g\) und der Bildweite \(b\) mit \[\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}\]
  • Die Linsengleichungen kann mithilfe der Hauptstrahlen und des Strahlensatzes hergeleitet werden.
  • Die Linsengleichungen gilt sowhl für Sammel- als auch Zerstreuungslinsen.

Hinweis: Dieses Thema wird leider nicht mehr in allen Bundesländern behandelt. Wenn du jedoch die Linsengleichung beherrschst, kannst du aus der Gegenstandgröße \(G\), der Gegenstandsweite \(g\) und der Brennweite \(f\) die Bildgröße \(B\) und die Bildweite \(b\) berechen.

Gleichungen mittels Strahlensatz aufstellen

Die Linsengleichung kannst du mithilfe der Hauptstrahlen zur Bildkonstuktion und dem Strahlensatz entwickeln.

Dazu betrachtest du zunächst den Mittelpunktsstrahl. Der Strahlensatz besagt hierbei
\[\frac{G}{g} = \frac{B}{b}\] Dies kannst du umformen zu \[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\quad (1)\]

Nun betrachtest du den Parallelstrahl. Der Strahlensatz ergibt hierbei
\[\frac{G}{f} = \frac{B}{{b - f}} \quad (2)\]

Gleichungen zur Linsengleichung zusammenführen

Nun kannst du aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Linsengleichung wie folgt herleiten
Umformen von \((2)\) liefert: \[\frac{B}{G}=\frac{{b - f}}{f}\] Einsetzen in \((1)\) führt zu \[\frac{{b - f}}{f} = \frac{b}{g}\] Hieraus ergibt sich
\[\frac{b}{f} - \frac{f}{f} = \frac{b}{g}\;|\;:b\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{g}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Wenn \(g>f\) ist, entstehen bei Abbildung an Sammellinsen reelle, höhen- und seitenverkehrte Bilder.
  • Ist \(g>2\cdot f\), so sind Bilder an Sammellinsen kleiner als der Gegenstand. Gilt \(2\cdot f>g>f\), so sind die Bilder größer als der Gegenstand.
  • Wenn \(g<f\) ist, entstehen bei Abbildung an Sammellinsen virtuelle Bilder, die nicht auf dem Kopf stehen und größer als der Gegenstand sind.
  • Bei Abbildung an Zerstreuungslinsen entstehen immer virtuelle Bilder, die kleiner als der Gegenstand sind und nicht auf dem Kopf stehen.

Bildeigenschaften bei Abbildung an einer Sammellinse

Bei der Abbildung an einer Sammellinse musst du vier unterschiedliche Fälle betrachten.

1.) Gegenstandsweite \(g\) größer als die doppelte Brennweite der Linse \(g>2\cdot f\)

Ist \(g>2\cdot f\) so lässt sich das Bild wie in der Grafik dargestellt konstruieren.

Das Ergebnis zeigt allgemein:

  • Es entsteht ein reelles Bild, das mittels Schirm aufgefangen werden kann.
  • Das Bild ist höhen- und seitenverkehrt.
  • Die Bildweite \(b\) ist größer als \(f\), aber kleiner als \(2\cdot f\).
  • Die Bildgröße \(B\) ist kleiner als die Gegenstandsgröße \(G\).
2.) Gegenstandsweite \(g\) gleich der doppelten Brennweite der Linse \(g=2\cdot f\)

Ist \(g=2\cdot f\) so lässt sich das Bild wie in der Grafik dargestellt konstruieren.

Für diesen Fall gilt allgemein:

  • Es entsteht ein reelles Bild, das mittels Schirm aufgefangen werden kann.
  • Das Bild ist höhen- und seitenverkehrt.
  • Die Bildweite \(b\) ist gleich der doppelten Brennweite \(2\cdot f\).
  • Die Bildgröße \(B\) ist gleich der Gegenstandsgröße \(G\).
3.) Gegenstandsweite \(g\) zwischen doppelter und einfacher Brennweite der Linse \(2\cdot f>g>f\)

Ist die Gegenstandsweite zwischen \(f\) und \(2\cdot f\), so lässt sich das Bild wie in der Grafik dargestellt konstruieren.

Das Ergebnis zeigt allgemein:

  • Es entsteht ein reelles Bild, das mittels Schirm aufgefangen werden kann.
  • Das Bild ist höhen- und seitenverkehrt.
  • Die Bildweite \(b\) ist größer als die doppelte Brennweite \(2\cdot f\).
  • Die Bildgröße \(B\) ist größer als die Gegenstandsgröße \(G\).
4.) Gegenstandsweite \(g\) kleiner als die Brennweite der Linse \( g < f \)

Ist die Gegenstandsweite \(g\) kleiner als die Brennweite \(f\), so lässt sich das Bild wie in der Grafik dargestellt konstruieren.

Das Ergebnis zeigt allgemein:

  • Es entsteht ein virtuelles Bild.
  • Das Bild ist höhen- und seitenrichtig.
  • Die Bildweite \(b\) ist negativ (das Bild liegt auf der gleichen Seite wie der Gegenstand) und ihr Betrag größer als die Gegenstandsweite \(g\).
  • Die Bildgröße \(B\) ist größer als die Gegenstandsgröße \(G\).

Es diesen vier Fällen kannst du die sog. Bewegungsregel bei Abbildung an einer Sammellinse ableiten.

Bewegungsregel

Solange \(g>f\) ist, gilt:
Rückt der Gegenstand auf die Linse zu, so entfernt sich das Bild von der Linse und wird größer.

Bildeigenschaften bei Abbildung an einer Zerstreuungslinse

Bei der Abbildung an einer Zerstreuungslinse sind die grundsätzlichen Bildeigenschaften für alle Gegenstandsweiten \(g\) identisch. Das Bild lässt sich wie in der Grafik dargestellt konstruieren.

Das Ergebnis zeigt allgemein:

  • Es entsteht ein virtuelles Bild.
  • Das Bild ist höhen- und seitenrichtig.
  • Die Bildweite \(b\) ist negativ (das Bild liegt auf der gleichen Seite wie der Gegenstand) und ihr Betrag kleiner als der Betrag der Brennweite \(f\) und kleiner als die Gegenstandsweite \(g\).
  • Die Bildgröße \(B\) ist kleiner als die Gegenstandsgröße \(G\).

Mit der folgenden Tabelle erhältst du einen Überblick über einige wichtige optische Geräte. Für genauere Informationen kannst du den jeweiligen Link in der linken Spalte anklicken.

Gerät Ziel Aufbau/Besonderheiten

Lupe

Vergrößerung des Sehwinkels bei einem nahen Gegenstand

Vergrößerung (mittel)

  • Gegenstand kann mit Lupe näher an das Auge gebracht werden.
  • Das Auge betrachtet ein virtuelles von der Lupe entworfenes Bild.
  • Für die Vergrößerung gilt: \(V = \frac{s}{{{f_{Lupe}}}}\)

Kepler-Fernrohr

Galilei-Fernrohr

Vergrößerung des Sehwinkels bei einem meist großen, sehr weit entfernten Gegenstand

  • Das vom langbrennweitigen Objektiv entworfene reelle Zwischenbild wird mit dem kurzbrennweitigen, als Lupe dienenden Okular betrachtet (Keplerfernrohr).
  • Vergrößerung: \(V = \frac{{{f_{Objektiv}}}}{{{f_{Okular}}}}\)

Vergrößerung des Sehwinkels bei einem nahen Gegenstand

Vergrößerung (stark)

  • Mit dem Okular als Lupe wird das reelle Zwischenbild betrachtet, welches vom Objektiv (fObjektiv < fOkular) entworfen wird.
  • Vergrößerung \(V = k \cdot \frac{s}{{{f_{Okular}}}}\) mit k: Abbildungsfaktor; s: deutliche Sehweite;

Diaprojektor

Overhead

Vergrößertes reelles Bild
einer nahen Vorlage

  • Abbildung eines Dias bzw. einer Folie durch das Objektiv auf einer Leinwand.
  • Ausleuchtung des Dias durch einen Kondensor bzw. der Folie durch eine Fresnellinse.

Fotoapparat

Abbildung eines Gegenstandes auf die Filmebene
  • Das Objektiv ist im einfachsten Fall eine Konvexlinse, meist ist es jedoch mehrlinsig.
  • Blende und Verschluss zur Begrenzung der Lichtmenge
  • Bedeutung der Blendenöffnung für die Tiefenschärfe

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