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Grundwissen

Linsengleichungen

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Abbildungsgleichung \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) beschreibt den Zusammenhang zwischen Bildgröße \(B\), Gegenstandsgröße \(G\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) bei einer Linsenabbildung.
  • Die Linsengleichung \(\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}\) beschreibt den Zusammenhang zwischen Brennweite \(f\), Gegenstandsweite \(g\) und Bildweite \(b\) bei einer Linsenabbildung.
  • Die Linsengleichung kann mithilfe der Hauptstrahlen und des Strahlensatzes hergeleitet werden.
  • Die Linsengleichung gilt sowohl für Sammel- als auch Zerstreuungslinsen.
Aufgaben Aufgaben

Hinweis: Dieses Thema wird leider nicht mehr in allen Bundesländern behandelt. Wenn du jedoch die Linsengleichung beherrschst, kannst du aus der Gegenstandgröße \(G\), der Gegenstandsweite \(g\) und der Brennweite \(f\) die Bildgröße \(B\) und die Bildweite \(b\) berechen.

Gleichungen mittels Strahlensatz aufstellen

Die Linsengleichung kannst du mithilfe der Hauptstrahlen zur Bildkonstruktion und dem Strahlensatz entwickeln.

abbildungsgleichung_aus_mittelpunktsstrahl1.svg
Dazu betrachtest du zunächst den Mittelpunktsstrahl. Der Strahlensatz besagt hierbei
\[\frac{G}{g} = \frac{B}{b}\] Dies kannst du umformen zu \[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\quad (1)\]

abbildungsgleichung_aus_parallelstrahl1.svg
Nun betrachtest du den Parallelstrahl. Der Strahlensatz ergibt hierbei
\[\frac{G}{f} = \frac{B}{{b - f}} \quad (2)\]

Gleichungen zur Linsengleichung zusammenführen

Nun kannst du aus den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) die Linsengleichung wie folgt herleiten
Umformen von \((2)\) liefert: \[\frac{B}{G}=\frac{{b - f}}{f}\] Einsetzen in \((1)\) führt zu \[\frac{{b - f}}{f} = \frac{b}{g}\] Hieraus ergibt sich
\[\frac{b}{f} - \frac{f}{f} = \frac{b}{g}\;|\;:b\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} - \frac{1}{b} = \frac{1}{g}\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]

Abbildungsgesetze bei optischen Linsen

Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(B\): Bildgröße

\(G\): Gegenstandsgröße

\(b\): Bildweite

\(g\): Gegenstandsweite

\(f\): Brennweite

Dann gilt:

1.Bei jeder Abbildung mit einer Linse ist der Quotient aus Bildgröße \(B\) und Gegenstandsgröße \(G\) gleich dem Quotienten aus Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\):\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]

2.Bei jeder Abbildung mit einer Linse gilt für Brennweite \(f\), Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) die Linsengleichung:\[\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zu optischen Linsen zu lösen musst du häufig die Gleichungen \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) oder \(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in den folgenden Animationen.

Um die Gleichung\[\frac{\color{Red}{{B}}}{{{G}}} = \frac{{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{B}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{G}}\). Schreibe das \({{G}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{B}} \cdot {{G}}}{{{G}}} = \frac{{{b}} \cdot {{G}}}{{{g}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{G}}\).\[\color{Red}{{B}} = \frac{{{b}} \cdot {{G}}}{{{g}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{B}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{\color{Red}{{G}}} = \frac{{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{G}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{G}}}{{{B}}} = \frac{{{g}}}{{{b}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{B}}\). Schreibe das \({{B}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{G}} \cdot {{B}}}{{{B}}} = \frac{{{g}} \cdot {{B}}}{{{b}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{B}}\).\[\color{Red}{{G}} = \frac{{{g}} \cdot {{B}}}{{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{G}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{{{G}}} = \frac{\color{Red}{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{g}}} = \frac{{{B}}}{{{G}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{g}}\). Schreibe das \({{g}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{g}}}{{{g}}} = \frac{{{B}} \cdot {{g}}}{{{G}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{g}}\).\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{B}} \cdot {{g}}}{{{G}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{{{G}}} = \frac{{{b}}}{\color{Red}{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{g}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{b}}}{\color{Red}{{g}}} = \frac{{{B}}}{{{G}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{g}}}{{{b}}} = \frac{{{G}}}{{{B}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{b}}\). Schreibe das \({{b}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{g}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{G}} \cdot {{b}}}{{{B}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{g}} = \frac{{{G}} \cdot {{b}}}{{{B}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{g}}\) aufgelöst.
Abb. 3 Schrittweises Auflösen der Abbildungsgleichung \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) nach den vier in der Formel auftretenden Größen
Um die Gleichung\[\frac{1}{\color{Red}{{f}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{f}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{f}}} = \frac{{{g}}}{{{b}} \cdot {{g}}} + \frac{{{b}}}{{{g}}\cdot {{b}}} = \frac{{{g}}+{{b}}}{{{b}}\cdot {{g}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{f}} = \frac{{{b}} \cdot {{g}}}{{{g}}+{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{f}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{\color{Red}{{b}}} + \frac{1}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} + \frac{1}{{{g}}} = \frac{1}{{{f}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{g}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} = \frac{1}{{{f}}} - \frac{1}{{{g}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{b}}} = \frac{{{g}}}{{{f}} \cdot {{g}}} - \frac{{{f}}}{{{g}}\cdot {{f}}} = \frac{{{g}} - {{f}}}{{{f}}\cdot {{g}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{f}} \cdot {{g}}}{{{g}} - {{f}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{\color{Red}{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{g}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{\color{Red}{{g}}} = \frac{1}{{{f}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{b}}}\).\[\frac{1}{\color{Red}{{g}}} = \frac{1}{{{f}}} - \frac{1}{{{b}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{\color{Red}{{g}}} = \frac{{{b}}}{{{f}} \cdot {{b}}} - \frac{{{f}}}{{{b}}\cdot {{f}}} = \frac{{{b}} - {{f}}}{{{f}}\cdot {{b}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\color{Red}{{g}} = \frac{{{f}} \cdot {{b}}}{{{b}} - {{f}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{g}}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Linsengleichung \(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\) nach den drei in der Formel auftretenden Größen