Mechanische Wellen

Mechanik

Mechanische Wellen

  • Was bewegt sich eigentlich bei einer Welle?
  • Wie entsteht ein Tsunami?
  • Wie funktioniert eine Orgelpfeife?

In unserer Umwelt treten Wellen in vielerlei Bereichen auf. Die Bilder zeigen einige Beispiele für Wellen..

La Ola im Stadion

Wasserwelle

elektromagnetische Wellen
aus dem Weltraum

Schallwellen aus dem Horn


Definition
Eine - zugegeben etwas abstrakte - Definition der Welle lautet:
"Eine Welle ist eine räumliche und zeitliche Zustandsänderung physikalischer Größen, die meist nach bestimmten periodischen Gesetzmäßigkeiten erfolgt"

 

Im Folgenden werden zunächst nur mechanischen Wellen betrachtet:

  • Die Ausbreitung mechanischer Wellen erfordert einen Träger (dies können feste, flüssige oder gasförmige Körper sein) in dem sich schwingungsfähige Teilchen befinden.

 

  • Die schwingungsfähigen Teilchen müssen untereinander eine Kopplung aufweisen, so dass sich die von außen einwirkende Störung über das System fortpflanzen kann. Zur Veranschaulichung arbeitet man oft mit dem sogenannten Kugel-Feder-Modell. Die Kugeln symbolisieren die schwingungsfähigen Teilchen, die Federn deuten auf die Kopplung zwischen den Teilchen hin.


Für eine leichtere bildliche Darstellung werden die Federn oft durch einen Strich zwischen den Teilchen ersetzt

 

  • Ein Erreger zwingt ein Teilchen des Körpers aus seiner Ruhelage. Aufgrund seiner Trägheit übernimmt das nächste Teilchen etwas zeitversetzt diese Störung, es entsteht eine Phasenverschiebung Δφ zwischen den Bewegungen benachbarter Teilchen. Auf diese Weise pflanzt sich die Störung durch den Körper fort.

 

  • Die Geschwindigkeit mit der sich die Störung durch den Körper bewegt nennt man Ausbreitungsgeschwindigkeit c.



  • Sehr häufig wird das von außen angeregte Teilchen zu einer Sinusschwingung angeregt. Man bezeichnet die daraufhin entstehende Welle als harmonische Welle.

 

  • Mit der Ausbreitung der Welle ist ein Energietransport, aber kein Materietransport verbunden. Diese Ausbreitung der Energie in den Raum bei einer Welle ist ein wesentlicher Unterschied zur Schwingung, bei der die Energie nur zwischen zwei Orten hin- und herpendelt.

Querwellen

Bei einer Quer- oder Transversalwelle schwingen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die nebenstehende Animation zeigt die Fortpflanzung einer Transversalwelle durch eine ebene Anordnung von elastisch gekoppelten Körpern.
Erzeugt man eine Welle z.B. durch eine sinusförmige Anregung an einem Seilende. So lässt sich das Bild der Welle zu einem gewissen Zeitpunkt (Momentaufnahme) durch eine Sinuslinie beschreiben (das x-y-Diagramm ist eine Sinuslinie). Solche Wellen bezeichnet man auch als harmonische Wellen.
Die Momentaufnahme einer harmonischen Welle ist nicht zu verwechseln mit der Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Schwingung eines Teilchens in der linearen Kette. Das t-y-Diagramm eines von der Welle erfassten Teilchens ist ebenfalls eine Sinuslinie. Die einzelnen Sinusschwingungen der von der Welle erfassten Teilchen besitzen eine Phasenverschiebung Δφ = ω·Δt. Die Phasenverschiebung hängt davon ab wie weit das betrachtete Teilchen vom ersten Teilchen der Kette entfernt ist.
Aufgabe: Querwellen

a)

Welche(s) Teilchen von Bild 1 könnte das in Bild 2 dargestellte \(t\)-\(y\)-Diagramm besitzen? Hinweis: Bild 1 wurde zur Zeit \(t = 0\) aufgenommen.

b)

In Bild 3 ist ein weiteres \(t\)-\(y\)-Diagramm eines Teilchens dargestellt. Welche(s) Teilchen von Bild 1 könnte dieses \(t\)-\(y\)-Diagramm zeigen?

c)

Welche Phasenverschiebung \(\Delta \varphi \) (Betrag) besteht zwischen Bild 2 und Bild 3?

 

Längswellen

Bei einer Längs- oder Longitudinalwelle schwingen die Teilchen längs der Ausbreitungsrichtung. Es kommt zu Dichte- und Druckschwankungen.
Die graphische Darstellung der Längswelle ist nicht so eingängig, wie die der Querwelle. Ein Verfahren, wie man von der Darstellung der Querwelle zur Darstellung der Längswelle gelangt, ist in der folgenden Animation gezeigt:

Wasserwellen

Spricht man von Wellen, so denken die meisten Menschen an Wellen die sich an der Wasseroberfläche ausbreiten. Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass Wasserwellen sich wie die oben beschriebenen Querwellen verhalten. Tatsächlich sind Wasserwellen sogenannte Kreiswellen (vgl. Animation). Die Wasserteilchen bewegen sich wohl quer zur Ausbreitungsrichtung, jedoch nicht vertikal wie oben, sondern auf Kreisen.


Bei einer Wasserwelle haben Wellenberg und Wellental nicht die selbe Form. Der Wellenberg ist kürzer und steiler als das Wellental.

Zum leichteren Verständnis wurden weiter oben Wellen besprochen, die sich in einer Dimension ausbreiten (z.B. Welle am gespannten Seil; Welle längs einer Schraubenfeder). In der Natur treten sehr häufig mechanische Wellen auf, die sich in zwei (z.B. Oberflächenwellen beim Wasser) oder gar drei Dimensionen (Schallwellen in Luft) ausbreiten.

Bei den zweidimensionalen Wellen seien hier noch zwei Grundformen angesprochen:

Kreiswelle

Erzeugung: z.B. mit einem kleinen Tupfer (rot) oder einen ins Wasser geworfenen Stein

Ebene Welle

Erzeugung z.B. durch eine Störung der Wasseroberfläche mit einem Lineal (rot)


Hinweise:

  • Mit "Start 1" kommen Sie zur Darstellung, in der Wellenberge (blau) und Wellentäler (weiß) dargestellt sind.

  • Mit "Start 2" erreichen Sie eine vereinfachte Darstellung in der nur die Wellenberge (als Striche) dargestellt sind


Hinweise:

  • Mit "Start 1" kommen Sie zur Darstellung, in der Wellenberge (blau) und Wellentäler (weiß) dargestellt sind.

  • Mit "Start 2" erreichen Sie eine vereinfachte Darstellung in der nur die Wellenberge (als Striche) dargestellt sind.

Wellenfront - Wellenstrahl

  • Zwischen der erzwungenen Schwingung an einer bestimmten Stelle des Wellenfeldes und der Schwingung des Erregers besteht eine Phasendifferenz. Alle Punkte, die gleich weit vom Erregerzentrum entfernt sind, schwingen in Phase.
  • Benachbarte Punkte gleicher Phase bilden die sogenannte Wellenfront.
  • Senkrecht zu den Wellenfronten verlaufen die Wellennormalen (man nennt sie auch Wellenstrahlen), welche die Ausbreitungsrichtung der Welle angeben.

Die fortlaufende Welle - Bild und Gleichung

Bei einer längs einer Geraden fortlaufenden Welle schwingen alle Punkte der Geraden mit der selben Amplitude allerdings mit unterschiedlicher, zeitlich versetzter Phasenlage. Dabei ist \(T\) die Schwingungsperiode und \(\lambda\) die Wellenlänge.

Laufrichtung Bild Gleichung
von links nach rechts \[{y_{\rm{L}}}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
von rechts nach links \[{y_{\rm{R}}}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]

Reflexion einer Störung am festen Ende

Eine von links nach rechts laufende Störung trifft auf ein festes Ende und wird dort reflektiert. Man erkennt, dass ein Wellenberg als Wellental reflektiert wird (Phasenumkehr!). Diesen Versuch kann man mit jedem elastischen Seil nachvollziehen, wenn man ein Seil an einem Ende anbindet und am anderen Ende mit der Hand eine Störung auslöst.

Reflexion einer Störung am freien Ende

Eine von links nach rechts laufende Störung trifft auf ein freies Ende und wird dort reflektiert. Man erkennt, dass ein Wellenberg wieder als Wellenberg reflektiert wird (keine Phasenumkehr!). Diesen Versuch kann man mit jedem elastischen Seil nachvollziehen, wenn man ein Seil von einem hohen Punkt frei nach unten hängen lässt und oben mit der Hand eine Störung erzeugt.

Reflexion einer Welle am festen Ende

Die "blaue" Primärwelle läuft von rechts nach links. Sie löst durch Anregung der Wand die von der Wand in beide Richtungen ausgehende, rot skizzierte Sekundärwelle aus.

Die "rote" Welle schwingt mit Phasenverzögerung von \(\pi \) achsensymmetrisch zur Wand. Die von der Wand ausgehende "rote" Welle ist rechts von der Wand zur "blauen" Welle gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur violetten stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Knoten direkt an der Wand. Links von der Wand sind "blaue" und "rote" Welle gleichläufig und gegenphasig. Sie heben sich dadurch auf.

Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das elektrische Feld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am festen Ende reflektiert wird.

Rechnerische Betrachtung der Welle vor der Wand (Koordinatenursprung bei der Wand!)

Gleichung der von rechts kommenden Welle (blau): \[{y_R}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Gleichung der nach rechts laufenden Welle (rot): \[{y_L}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda } - \frac{1}{2}} \right)} \right)\]
Additionstheorem (aus der Formelsammlung): \[\sin \left( \alpha  \right)\,\, + \,\,\sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\]
Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett): \[{y_{ges}}(x;t) = {y_R}(x;t) + {y_L}(x;t)\]
\[{y_{ges}}(x;t) = 2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T} - \frac{\pi }{2}} \right)\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich \(\left( {\sin \left( {2 \cdot \pi \frac{t}{T} - \frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) erfolgt, aber die Amplitude \(\left( {2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda } + \frac{\pi }{2}} \right)} \right)\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Knoten hat.

Reflexion einer Welle am freien Ende

Die "blaue" Primärwelle läuft von rechts nach links. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft.

Rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Bauch direkt an der Wand.

Links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, sie löschen sich daher links von der Wand aus.

Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das Magnetfeld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am losen Ende reflektiert wird.

Rechnerische Betrachtung der Welle vor der Wand (Koordinatenursprung bei der Wand!)

Gleichung der von rechts kommenden Welle (blau): \[{y_R}(x;t) = {y_0} \cdot \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Gleichung der nach rechts laufenden Welle (rot): \[{y_L}(x;t) = {y_0} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Additionstheorem (aus der Formelsammlung): \[\sin \left( \alpha  \right)+\sin \left( \beta  \right) = 2 \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha  - \beta }}{2}} \right) \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \right)\]
Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett): \[{y_{ges}}(x;t) = {y_R}(x;t) + {y_L}(x;t)\]
\[{y_{ges}}(x;t) = 2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} \right) \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T}} \right)\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich \(\left( {\sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{t}{T}} \right)} \right)\) erfolgt, aber die Amplitude \(\left( {2 \cdot {y_0} \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot {y_0}\) hat.
 

Entstehung der stehenden Welle vor der Wand

Eine von links nach rechts laufende Welle trifft auf ein festes Ende und wird dort reflektiert. Man erkennt, dass sich die hinlaufende und die reflektierte Welle zu einer stehenden Welle überlagern.

Reflexion der Längswelle (Slinky-Feder)

Eine von rechts ausgehende Längsstörung wird in einer Slinkifeder am linken freien Ende reflektiert.

Reflexion der Querwelle (Slinky-Feder)

Eine von rechts ausgehende Querstörung wird in einer Slinkifeder am linken freien Ende reflektiert.

\[c\]

Phasen- oder Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle: Geschwindigkeit, mit der sich die Störung über den Wellenträger ausbreitet. Leicht zu bestimmen ist \(c\), wenn man einen ausgezeichneten Punkt (z.B. den Wellenberg) beobachtet.

Achtung: Die Phasengeschwindigkeit ist nicht mit der Geschwindigkeit der von der Welle erfassten Teilchen zu verwechseln.

\[\lambda \]

Wellenlänge: x-Abstand eines Teilchens zum nächsten Teilchen im gleichen Schwingungszustand (d.h. die beiden Punkte müssen gleiche Auslenkung und gleiche Geschwindigkeit haben).

Anmerkung: Zu Teilchen mit gleichem Schwingungszustand sagt man auch gleichphasig schwingende Teilchen.

\[T\]

Schwingungsdauer: Zeit, die jeder einzelne Punkt der harmonischen Welle für eine volle Schwingung benötigt.

\[f\]

Frequenz: Zahl der Schwingungen eines Teilchens in der Zeiteinheit: \(f = \frac{1}{T}\)

\[\Delta \varphi \]

Phasenunterschied zwischen zwei Teilchen, die von einer harmonischen Welle erfasst werden. Ist der x-Abstand der beiden Teilchen \({\Delta x}\), so gilt für \(\Delta \varphi \)
\[\frac{{\Delta \varphi }}{{2 \cdot \pi }} = \frac{{\Delta x}}{\lambda } \Leftrightarrow \Delta \varphi  = 2 \cdot \pi  \cdot \frac{{\Delta x}}{\lambda }\]

\[ \hat{y}  \] Amplitude: Maximale Auslenkung der schwingenden Teilchen einer Welle aus ihrer Ruhelage.

  1. Bestimme aus den Daten der Animation die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der dargestellten Welle.

  2. Entnimm aus einer geeigneten Momentaufnahme der Welle deren Wellenlänge \(\lambda\) .

  3. Berechne die Schwingungsdauer eines von der Welle erfassten Teilchens sowie daraus resultiernede Frequenz \(f\) der Welle.

  4. Zeige durch geschickte Betrachtung der Animation, dass man allgemein für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle schreiben kann \(c = f \cdot \lambda \).

Die Vorgänge bei der Überlagerung von Wellen werden als Interferenz bezeichnet. Gibt es nur zwei Sender (Quellen) von denen Wellen ausgehen, so spricht man von Zwei-Quellen-Interferenz. Beispiele für Sender: zwei Tupfer in einer Wasserwellenwanne; zwei Laufsprecher; zwei Spalte von denen Elementarwellen ausgehen usw.

Vereinfachend wollen wir annehmen, dass die betrachteten Wellen harmonisch sind und gleiche Amplitude, Frequenz und Schwingungsrichtung besitzen.
Stellen Sie sich einen ruhigen See vor, in den zwei Tupfer (Sender S1 und S2) eintauchen und zwei Kreiswellensysteme erzeugen, außerdem in einiger Entfernung einen Korken (Empfänger E), der von den Wellen erfasst und zu Schwingungen angeregt wird. Bei der Überlagerung der Wellen treten die beiden folgenden Extremfälle auf:

Konstruktive Interferenz

Ein Berg von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Maximalauslenkung (z.B. des Korkens).

Zur konstruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn für den Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\left| {\overline {{{\rm{S}}_{\rm{2}}}{\rm{E}}} } \right| - \left| {\overline {{{\rm{S}}_{\rm{1}}}{\rm{E}}} } \right|} \right|\) gilt:

\[\Delta s = k \cdot \lambda \;;\;k \in {\mathbb{N}_0}\]

Man spricht für k = 0 (Δs = 0) vom Maximum 0. Ordnung.
Für k = 1 (Δs = λ) kommt es zum Maximum 1. Ordnung (vgl. Bild) von dem es in der Ebene vier gibt (in jeder Halbebene zwei symmetrisch zur skizzierten Achse).

Destruktive Interferenz

Ein Berg von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Auslöschung (z.B. keine Auslenkung des Korkens).

Zur destruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn der Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\left| {\overline {{{\rm{S}}_{\rm{2}}}{\rm{E}}} } \right| - \left| {\overline {{{\rm{S}}_{\rm{1}}}{\rm{E}}} } \right|} \right|\) die Werte \(\frac{\lambda }{2}\), \(3 \cdot \frac{\lambda }{2}\), \(5 \cdot \frac{\lambda }{2}\) usw. annimmt. Mathematisch elegant kann man dies in der folgenden Form schreiben:

\[\Delta s = \left( {2 \cdot k + 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2}\;;\;k \in {\mathbb{N}_0}\]
oder
\[\Delta s = \left( {2 \cdot k - 1} \right) \cdot \frac{\lambda }{2}\;;\;k \in \mathbb{N}\]

Man spricht für Δs = λ/2 vom Minimum 1.Ordnung. von dem es in der Ebene vier gibt (in jeder Halbebene zwei symmetrisch zur skizzierten Achse).

Das sehr schöne Applet von Peter Kraus, bei der die beiden Sender jeweils Spalte sind auf die eine ebene Welle trifft (Doppelspalt), zeigt auch die Zustände zwischen den beiden oben besprochenen Extremfällen. Um zu dem nebenstehenden Bild zu gelangen, müssen Sie zuerst die Schaltfläche "Doppel" anklicken.
In der Animation können Sie die Position des Empfängers (roter Punkt rechts) mit der Maus verändern und verschiedene Werte für die Wellenlänge mit einem Schieber (unten) einstellen.

zum Applet

Die Berechnung des Winkels α unter dem ein Maximum oder Minimum erscheint, wird dann besonders einfach, wenn die Entfernung a des Empfängers E sehr groß gegenüber dem Abstand b der beiden Sender ist (b <<a). Wie die folgende Animation zeigt, werden in diesem Fall die Geraden S1E und S2E nahezu parallel und der Winkel ß fast 90°.



 

In diesem Fall gilt dann für Δs:

Δs = b · sinα

Laufen z. B. zwei harmonische Wellen gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (der letzte Punkt ist nur bei Querwellen wichtig) gegeneinander, so kommt es zur Ausbildung einer sogenannten stehenden Welle.

Eine stehende Welle hat an stets gleichen Stellen Knoten (keine Auslenkung) und Bäuche (maximale Auslenkung im Vergleich zur Umgebung). Der Abstand zweier benachbarter Knoten (Bäuche) ist die Hälfte der Wellenlänge der ursprünglich fortscheitenden Wellen (Möglichkeit der Messung der Wellenlänge).

Hinweise

Der Begriff stehende Welle ist unglücklich gewählt, da es sich um keine Welle mehr handelt, bei der Energie in den Raum hinaus transportiert wird.

Zur Erzeugung von zwei gegeneinander laufenden Wellen braucht man nicht unbedingt zwei "Wellengeneratoren". Man kann z.B. am Seil eine Welle nach rechts laufen lassen. Diese Welle wird am Seilende reflektiert und läuft dann wieder nach links. Durch Interferenz zwischen hin- und zurücklaufender Welle kommt es dann zur Ausbildung einer stehenden Welle.

Bei der Reflexion am Seilende hat man zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Reflexion am festen Ende

Ein ankommender Wellenberg wird als Wellental reflektiert (Phasenumkehr)

2. Reflexion am losen Ende

Ein ankommender Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert (keine Phasenumkehr)

Hinweise

In der Animation von Dr. Fu Kwan Hwang (Universität Taiwan) kannst du nochmals die Eigenschaften von fortschreitender Querwelle (oben) und auch stehender Querwelle (unten) studieren. In dem Auswahlfenster kann man auch auf die Längswelle umschalten. Studiere den englischen Text und probiere die Aktionen durch, die man mit der linken und rechten Maustaste auslösen kann.

Beim Landesbildungsserver Baden-Württemberg wird eine sehr schöne Animation zur stehenden Welle durch Reflexion angeboten.

Wenn du an der mathematischen Beschreibung stehender Wellen interessiert bist, so kannst du diese hier einblenden.

Auf dieser Seite wirst du zur sogenannten Wellenfunktion geführt. Diese Funktion beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in y-Richtung an einem beliebigen Ort x und zu einer beliebigen Zeit t.

In den nebenstehenden Bildern ist jeweils eine Reihe von Körpern skizziert, die von einer sinusförmigen Querwelle erfasst werden.

Im obersten Bild beginnt der Körper A gerade in positive y-Richtung zu schwingen, die anderen Körper sind noch in Ruhe.

Im Bild darunter hat Körper A schon eine gewisse Auslenkung, der zweite Körper wird gerade von der Störung erfasst und beginnt gerade in positive y-Richtung zu schwingen usw.

Bestimme die Schwingungsfunktion für den Körper A, wenn er mit der Frequenz \(f\) schwingt.

Aufgrund der Kopplung der Teilchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven x-Richtung.

Berechne die Zeitspanne Welche Zeit \({\Delta t}\), die verstreicht, bis der Punkt P in der Entfernung \({{x_{\rm{P}}}}\) erfasst wird.

Bestimme mit den bisherigen Ergebnissen die Schwingungsfunktion für den Körper P.

Die Schwingungsgleichung für den Körper A lautet
\[{y_A}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\;;\;\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\]
Aufgrund der Kopplung der Körperchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven x-Richtung.
Der Körper P wird in der Zeit \(\Delta t = \frac{{{x_P}}}{c} \quad(1)\) von der Störung erfasst. Der Körper P schwingt also um die Zeit \(\Delta t\) verspätet an. Somit gilt:
\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot \left( {t - \Delta t} \right)} \right)\quad(2)\]
Setzt man (1) in (2) ein, so folgt
\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\omega  \cdot \left( {t - \frac{{{x_P}}}{c}} \right)} \right]\]
Wählt man an Stelle von P einen beliebigen Punkt mit der Entfernung \(x\) vom Ursprung aus, so gilt
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\frac{{2\pi }}{T} \cdot \left( {t - \frac{x}{c}} \right)} \right]\]
Die Auslenkung \(y\) hängt dann von den beiden Variablen \(x\) und \(t\) ab. Man bezeichnet obige Gleichung als die Wellengleichung.
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{{c \cdot T}}} \right)} \right]\]
Unter Verwendung der Beziehung
\[c = \lambda  \cdot f = \lambda  \cdot \frac{1}{T} \Rightarrow c \cdot T = \lambda \]
lässt sich die Wellengleichung in der noch etwas "griffigeren" Form schreiben:
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Für eine in die negative x-Richtung laufende Welle gilt:
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Wellengleichung als Funktion zweier Variablen ist zunächst wohl etwas ungewohnt. Sie enthält aber in sehr kompakter Form alle Informationen über die Welle.

Was sagt die Wellengleichung über einen Punkt an einem festen Ort \(x_1\) aus? ("vertikale" Betrachtung)
\[y({x_1};t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{{x_1}}}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(t\) ab. \(y({x_1};t)\) zeigt, dass der Punkt am Ort \(x_1\) eine Sinusschwingung ausführt (Sinuslinie im \(t\)-\(y\)-Diagramm).

Was sagt die Wellengleichung für einen festen Zeitpunkt \(t_1\) aus? ("horizontale" Betrachtung)
\[y(x;{t_1}) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{{{t_1}}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(x\) ab. \(y(x;{t_1})\) zeigt, dass eine Momentaufnahme der Welle eine Sinuslinie ergibt (Sinuslinie im \(x\)-\(y\)-Diagramm).

  • In diesem Applet kann man die charakteristischen Größen einer Welle einzeln ändern und sieht die Auswirkungen auf die anderen Größen.
  • Sie können mit der Maus einzelne Punkte der Welle anklicken, es wird dann der Vektor der Momentangeschwindigkeit sichtbar.
  • Machen Sie sich mit diesem Werkzeug die Definition der Wellenlänge (Abstand zweier Punkte gleicher Phase) klar. Gleiche Phase heißt nicht nur, dass die zu vergleichenden Punkte gleiche Elongation (Auslenkung) haben. Sie müssen auch die gleiche Geschwindigkeit (Vorzeichen und Betrag) besitzen.
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