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Grundwissen

Wellenfunktion

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Die Wellenfunktion beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in \(y\)-Richtung an einem beliebigen Ort \(x\) zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\).
  • Die Wellenfunktion für eine in positive \(x\)-Richtung laufende Welle lautet \(y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\)
Aufgaben Aufgaben

Momentaufnahme einer Welle bei sinusförmiger Anregung

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Momentaufnahme einer harmonischen Welle

Wenn man eine Welle z.B. durch eine sinusförmige Anregung an einem Seilende erzeugt, dann lässt sich das Bild der Welle zu einem gewissen Zeitpunkt (Momentaufnahme) durch eine Sinuskurve beschreiben: das \(x\)-\(y\)-Diagramm ist eine Sinuskurve. Solche Wellen bezeichnet man auch als harmonische Wellen.

Zeitlicher Verlauf der Schwingung eines Teilchens (\(t\)-\(y\)-Diagramm)

Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Zeitlicher Verlauf der Schwingung eines Teilchens

Die Momentaufnahme einer harmonischen Welle ist nicht zu verwechseln mit der Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Schwingung eines Teilchens in der linearen Kette. Das \(t\)-\(y\)-Diagramm eines von der Welle erfassten Teilchens ist ebenfalls eine Sinuslinie. Die einzelnen Sinusschwingungen der von der Welle erfassten Teilchen besitzen eine Phasenverschiebung \(\Delta \varphi  = \omega  \cdot \Delta t\). Die Phasenverschiebung hängt davon ab wie weit das betrachtete Teilchen vom ersten Teilchen der Kette entfernt ist.

Querwellen
Aufgabe

Gib an, welche(s) Teilchen von Abb. 1 das in Abb. 2 dargestellte \(t\)-\(y\)-Diagramm besitzen könnte. Hinweis: Bild 1 wurde zur Zeit \(t = 0\) aufgenommen.

Lösung

Das Teilchen, dessen Schwingung in Abb. 2 dargestellt ist, bewegt sich aus der Nulllage für \(t > 0\) zunächst nach oben. In der Nulllage befinden sich die Teilchen 1, 5 und 9. Von diesen wird sich Teilchen 5 im nächsten Augenblick nach oben und werden sich Teilchen 1 und Teilchen 9 im nächsten Augenblick nach unten bewegen. Also ist in Abb. 2 die Schwingung von Teilchen 5 dargestellt.

Aufgabe
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Abb. 3 t-y-Diagramm eines Teilchens

In Abb. 3 ist ein weiteres \(t\)-\(y\)-Diagramm eines Teilchens dargestellt. Gib an, welche(s) Teilchen von Abb. 1 dieses \(t\)-\(y\)-Diagramm zeigen kann.

Lösung

Das Teilchen, dessen Schwingung im Bild 3 dargestellt ist, bewegt sich aus der Nulllage für \(t > 0\) zunächst nach unten. In der Nulllage befinden sich die Teilchen 1, 5 und 9. Von diesen wird sich Teilchen 5 im nächsten Augenblick nach oben und werden sich Teilchen 1 und Teilchen 9 im nächsten Augenblick nach unten bewegen. Also ist in Bild 3 die Schwingung von Teilchen 1 oder von Teilchen 9 dargestellt.

Aufgabe

Bestimme den Betrag der Phasenverschiebung \(\Delta \varphi \) zwischen Abb. 2 und Abb. 3.

Lösung

Da die Schwingungen der beiden Teilchen um eine halbe Periode gegeneinander verschoben sind, beträgt der Betrag der Phasenverschiebung \(|\Delta \varphi | = \pi \).

Herleitung der Wellenfunktion

Auf dieser Seite wirst du zum Term der sogenannten Wellenfunktion geführt. Diese Funktion beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in \(y\)-Richtung an einem beliebigen Ort \(x\) zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\).

In den nebenstehenden Bildern ist eine Reihe von Körpern skizziert, die von einer sinusförmigen Querwelle erfasst werden.

Im ersten Bild beginnt der Körper A gerade in positive \(y\)-Richtung zu schwingen, die anderen Körper sind noch in Ruhe.

Im Bild danach hat Körper A schon eine gewisse Auslenkung, der zweite Körper wird gerade von der Störung erfasst und beginnt gerade in positive \(y\)-Richtung zu schwingen usw.

Aufgrund der Kopplung der Teilchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven \(x\)-Richtung.

Zeit-Auslenkung-Funktion
Aufgabe

Bestimme den Term der Zeit-Auslenkung-Funktion für den Körper A, wenn er mit der Frequenz \(f\) schwingt.

Lösung

Die Schwingungsfunktion für den Körper A lautet\[{{y_{\rm{A}}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\;;\;\omega = 2 \cdot \pi \cdot f}\]

Aufgabe

Berechne die Zeitspanne \({\Delta t}\), die verstreicht, bis der Punkt P in der Entfernung \({{x_{\rm{P}}}}\) erfasst wird.

Lösung

Aufgrund der Kopplung der Körperchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven \(x\)-Richtung. Der Körper P wird in der Zeit \(\Delta t = \frac{{{x_P}}}{c}\) von der Störung erfasst.

Aufgabe

Bestimme mit den bisherigen Ergebnissen den Term der Zeit-Auslenkung-Funktion der Schwingung für den Körper P.

Lösung

Die Schwingungsfunktion für den Körper P lautet\[y_{\rm{P}}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot \left( {t - \Delta t} \right)} \right)\;;\;\omega = 2 \cdot \pi \cdot f\]

Der Term der Zeit-Auslenkung-Funktion der Schwingung für den Körper A lautet\[{y_A}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\;;\;\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\]Aufgrund der Kopplung der Körperchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven \(x\)-Richtung.

Der Körper P wird in der Zeit \(\Delta t = \frac{{{x_P}}}{c} \quad(1)\) von der Störung erfasst. Der Körper P schwingt also um die Zeit \(\Delta t\) verspätet an. Somit gilt\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot \left( {t - \Delta t} \right)} \right)\quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\omega  \cdot \left( {t - \frac{{{x_P}}}{c}} \right)} \right]\]Wählt man an Stelle von P einen beliebigen Punkt mit der Entfernung \(x\) vom Ursprung aus, so gilt\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\frac{{2\pi }}{T} \cdot \left( {t - \frac{x}{c}} \right)} \right]\]Die Auslenkung \(y\) hängt dann von den beiden Variablen \(x\) und \(t\) ab. Man bezeichnet den obigen Term als den Funktionsterm der Wellenfunktion.\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{{c \cdot T}}} \right)} \right]\]Unter Verwendung der Beziehung\[c = \lambda  \cdot f = \lambda  \cdot \frac{1}{T} \Rightarrow c \cdot T = \lambda \]lässt sich dieser Term in der noch etwas "griffigeren" Form schreiben:\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]Für eine in die negative \(x\)-Richtung laufende Welle gilt:\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]Eine Funktion von zwei Variablen ist zunächst wohl etwas ungewohnt. Sie enthält aber in sehr kompakter Form alle Informationen über die Welle.

Wir fassen noch einmal zusammen: Die fortlaufende Welle - Bild und Gleichung

Bei einer längs einer Geraden fortlaufenden Welle schwingen alle Punkte der Geraden mit der selben Amplitude allerdings mit unterschiedlicher, zeitlich versetzter Phasenlage. Dabei ist \(T\) die Schwingungsperiode und \(\lambda\) die Wellenlänge.

Abb. 4 Nach rechts laufende harmonische Welle

Die Wellenfunktion einer in positiver \(x\)-Richtung (also meist nach rechts) laufenden Welle lautet\[{y_{\rm{R}}}(x;t) =\hat y \cdot \sin \left( {2\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein \(-\)-Zeichen steht.

Abb. 5 Nach links laufende harmonische Welle

Die Wellenfunktion einer in negativer \(x\)-Richtung (also meist nach links) laufenden Welle lautet\[{y_{\rm{L}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein \(+\)-Zeichen steht.

Was sagt die Wellenfunktion über einen Punkt an einem festen Ort \(x_1\) aus? ("vertikale" Betrachtung)
\[y({x_1};t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{{x_1}}}{\lambda }} \right)} \right]\]Die Auslenkung hängt nur noch von \(t\) ab. \(y({x_1};t)\) zeigt, dass der Punkt am Ort \(x_1\) eine Sinusschwingung ausführt (Sinuslinie im \(t\)-\(y\)-Diagramm). Vgl. hierzu die Bewegung der rot markierten Punkte in den Animationen in den Abb. 4 und 5.

Was sagt die Wellenfunktion für einen festen Zeitpunkt \(t_1\) aus? ("horizontale" Betrachtung)
\[y(x;{t_1}) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{{{t_1}}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]Die Auslenkung hängt nur noch von \(x\) ab. \(y(x;{t_1})\) zeigt, dass eine Momentaufnahme der Welle eine Sinuslinie ergibt (Sinuslinie im \(x\)-\(y\)-Diagramm). Vgl. hierzu die Standbilder in den Animationen in den Abb. 4 und 5.