Stehende Wellen mit zwei festen Enden
Die Saiten z.B. einer Gitarre oder eines Klaviers sind an beiden Enden befestigt. Wir sprechen in der Physik in diesem Zusammenhang von festen Enden. Auf diesen Saiten können sich stehende Wellen unterschiedlicher Form und Frequenz, sogenannte (Schwingungs-)Moden ausbilden.
Die Animation in Abb. 1 zeigt dir zuerst einmal die sogenannte Grundschwingung (\(n=1\)). Um diese stehende Welle anzuregen muss die Frequenz der Anregung einen ganz bestimmten Wert haben, der durch folgende Überlegung festgelegt ist:
- Da die beiden Enden fest sind und sich nicht bewegen können, müssen an beiden Enden Knoten der stehenden Welle vorliegen.
- Dies ist "zum ersten Mal" (\(n=1\)) der Fall, wenn die Länge \(L\) der Saite gleich der halben Wellenlänge der erzeugenden laufenden Welle beträgt:\[L=\frac{\lambda_1}{2} \Leftrightarrow \lambda_1 = 2 \cdot L\]
- Bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) von Wellen auf dem Wellenträger muss deshalb für die Anregungsfrequenz \(f_1\) die folgende Bedingung gelten:\[f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2 \cdot L}\]
Du kannst dir in der Animation aber auch andere Moden, die sogenannten Oberschwingungen (\(n>1\)), anzeigen lassen. Sie werden durch passende höhere Frequenzen angeregt, die Wellenlängen der erzeugenden laufenden Wellen sind entsprechend kleiner. Bedingung für die passenden Frequenzen ist aber immer, dass die stehende Welle an beiden Enden des Wellenträgers einen Knoten hat.
Stehende Wellen mit zwei festen Enden
Auf Wellenträgern wie z.B. den Saiten einer Gitarre können sich bei passenden Anregungsfrequenzen \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), ... stehende Wellen mit zwei festen Enden ausbilden.
Ist \(L\) die Länge des Wellenträgers und \(c\) die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf diesem Wellenträger, dann muss für die Anregungsfrequenzen \(f_n\) die folgende Bedingung erfüllt sein:\[f_n = n \cdot \frac{c}{{2 \cdot L}} \quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Für die Wellenlängen \(\lambda_n\) der erzeugenden laufenden Wellen gilt dann\[\lambda_n = \frac{{2 \cdot L}}{n}\quad \Leftrightarrow \quad L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2}\quad {\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Für \(n=1\) spricht man von der Grundschwingung, für \(n=2\) von der ersten Oberschwingung u.s.w.
Für den Abstand \(\Delta L_n\) zweier Knoten bzw. zweier Bäuche gilt\[\Delta L_n=\frac{\lambda_n}{2} =\frac{L}{n}\quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Die Anzahl von Knoten und Bäuchen auf dem Wellenträger in Abhängigkeit von \(n\) ist in der folgenden Tabelle aufgetragen.
| \(n\) | Anzahl der Knoten | Anzahl der Bäuche |
|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(1\) |
| \(2\) | \(3\) | \(2\) |
| \(3\) | \(4\) | \(3\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
Stehende Wellen mit zwei losen Enden
Einige Orgelpfeifen, die sogenannten offenen Pfeifen, oder Blockflöten bestehen aus einem Rohr, das auf beiden Seiten offen ist. Auch die Enden eines frei hängenden Stabs können frei schwingen. Wir sprechen in der Physik in diesem Zusammenhang von losen Enden. Auf diesen Saiten können sich stehende Wellen unterschiedlicher Form und Frequenz, sogenannte (Schwingungs-)Moden ausbilden.
Die Animation in Abb. 1 zeigt dir zuerst einmal die sogenannte Grundschwingung (\(n=1\)). Um diese stehende Welle anzuregen muss die Frequenz der Anregung einen ganz bestimmten Wert haben, der durch folgende Überlegung festgelegt ist:
- Da die beiden Enden lose sind und sich bewegen können, müssen an beiden Enden Bäuche der stehenden Welle vorliegen.
- Dies ist "zum ersten Mal" (\(n=1\)) der Fall, wenn die Länge \(L\) der Saite gleich der halben Wellenlänge der erzeugenden laufenden Welle beträgt:\[L=\frac{\lambda_1}{2} \Leftrightarrow \lambda_1 = 2 \cdot L\]
- Bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) von Wellen auf dem Wellenträger muss deshalb für die Anregungsfrequenz \(f_1\) die folgende Bedingung gelten:\[f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{2 \cdot L}\]
Du kannst dir in der Animation aber auch andere Moden, die sogenannten Oberschwingungen (\(n>1\)), anzeigen lassen. Sie werden durch passende höhere Frequenzen angeregt, die Wellenlängen der erzeugenden laufenden Wellen sind entsprechend kleiner. Bedingung für die passenden Frequenzen ist aber immer, dass die stehende Welle an beiden Enden des Wellenträgers einen Bauch hat.
Stehende Wellen mit zwei losen Enden
Auf Wellenträgern wie z.B. frei hängenden Stäben können sich bei passenden Anregungsfrequenzen \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), ... stehende Wellen mit zwei losen Enden ausbilden.
Ist \(L\) die Länge des Wellenträgers und \(c\) die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf diesem Wellenträger, dann muss für die Anregungsfrequenzen \(f_n\) die folgende Bedingung erfüllt sein:\[f_n = n \cdot \frac{c}{{2 \cdot L}} \quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Für die Wellenlängen \(\lambda_n\) der erzeugenden laufenden Wellen gilt dann\[\lambda_n = \frac{{2 \cdot L}}{n}\quad \Leftrightarrow \quad L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2}\quad {\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Für \(n=1\) spricht man von der Grundschwingung, für \(n=2\) von der ersten Oberschwingung u.s.w.
Für den Abstand \(\Delta L_n\) zweier Knoten bzw. zweier Bäuche gilt\[\Delta L_n=\frac{\lambda_n}{2} =\frac{L}{n}\quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Die Anzahl von Knoten und Bäuchen auf dem Wellenträger in Abhängigkeit von \(n\) ist in der folgenden Tabelle aufgetragen.
| \(n\) | Anzahl der Knoten | Anzahl der Bäuche |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(2\) |
| \(2\) | \(2\) | \(3\) |
| \(3\) | \(3\) | \(4\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |
Stehende Wellen mit einem festen und einem losen Ende
Da sich am geschlossenen Ende die Luftteilchen nicht, am anderen Ende aber bewegen können, muss an einem Ende ein Knoten und am anderen Ende ein Bauch einer stehenden Welle vorliegen. Die Animation in Abb. 3 zeigt Grundschwingungen, stehende Wellen mit der größtmöglichen Wellenlänge \(\lambda\): Eine Viertel Wellenlänge \(\frac{\lambda}{4}\) ist dabei genau so lang wie der Wellenträger. Aber auch Oberschwingungen mit kleineren Wellenlängen und damit größeren Frequenzen können sich auf dem Wellenträger aufbauen.
Andere Orgelpfeifen, die sogenannten gedeckten Pfeifen, oder Panflöten bestehen aus einem Rohr, das an einem Ende geschlossen und am anderen Ende offen ist. Auch das eine Ende eines am anderen Ende befestigten Stabs kann frei schwingen. Wir sprechen in der Physik in diesem Zusammenhang von einem festen und einem losen Ende. Auf einem solchen Stab können sich stehende Wellen unterschiedlicher Form und Frequenz, sogenannte (Schwingungs-)Moden ausbilden.
Die Animation in Abb. 3 zeigt dir zuerst einmal die sogenannte Grundschwingung (\(n=1\)). Um diese stehende Welle anzuregen muss die Frequenz der Anregung einen ganz bestimmten Wert haben, der durch folgende Überlegung festgelegt ist:
- Da ein Ende fest ist und sich nicht bewegen kann und das andere Ende lose ist und sich bewegen kann, muss am festen Ende ein Knoten und am losen Ende ein Bauch vorliegen.
- Dies ist "zum ersten Mal" (\(n=1\)) der Fall, wenn die Länge \(L\) der Saite gleich einer Viertel Wellenlänge der erzeugenden laufenden Welle beträgt:\[L=\frac{\lambda_1}{4} \Leftrightarrow \lambda_1 = 4 \cdot L\]
- Bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) von Wellen auf dem Wellenträger muss deshalb für die Anregungsfrequenz \(f_1\) die folgende Bedingung gelten:\[f_1=\frac{c}{\lambda_1}=\frac{c}{4 \cdot L}\]
Du kannst dir in der Animation aber auch andere Moden, die sogenannten Oberschwingungen (\(n>1\)), anzeigen lassen. Sie werden durch passende höhere Frequenzen angeregt, die Wellenlängen der erzeugenden laufenden Wellen sind entsprechend kleiner. Bedingung für die passenden Frequenzen ist aber immer, dass die stehende Welle an einem Ende des Wellenträgers einen Knoten und am anderen Ende einen Bauch hat.
Stehende Wellen mit einem festen und einem losen Ende
Auf Wellenträgern wie z.B. an einem Ende befestigten Stäben können sich bei passenden Anregungsfrequenzen \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), ... stehende Wellen mit einem festen und einem losen Ende ausbilden.
Ist \(L\) die Länge des Wellenträgers und \(c\) die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen auf diesem Wellenträger, dann muss für die Anregungsfrequenzen \(f_n\) die folgende Bedingung erfüllt sein:\[f_n = \left(n-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{c}{{2 \cdot L}} \quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Für die Wellenlängen \(\lambda_n\) der erzeugenden laufenden Wellen gilt dann\[\lambda_n = \frac{{2 \cdot L}}{n-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow L = \left(n-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad {\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots\]Für \(n=1\) spricht man von der Grundschwingung, für \(n=2\) von der ersten Oberschwingung u.s.w.
Für den Abstand \(\Delta L_n\) zweier Knoten bzw. zweier Bäuche gilt\[\Delta L_n=\frac{\lambda_n}{2} =\frac{L}{n}\quad{\rm{mit}}\quad n = 1,2,3,4, \ldots \]Die Anzahl von Knoten und Bäuchen auf dem Wellenträger in Abhängigkeit von \(n\) ist in der folgenden Tabelle aufgetragen.
| \(n\) | Anzahl der Knoten | Anzahl der Bäuche |
|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(2\) | \(2\) |
| \(3\) | \(3\) | \(3\) |
| \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) |