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Grundwissen

Stehende Wellen - Analyse mit Wellenfunktion

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Mathematisch kannst du eine stehende Welle durch Addition der Wellenfunktionen der sich überlagernden Wellen beschreiben.
  • Die sich ergebende Wellenfunktion zeigt, dass die Schwingung in allen Punkten phasengleich, aber die Amplitude ortsabhängig ist.
Aufgaben Aufgaben
Abb. 1 Reflexion einer Welle an einem losen Ende und resultierende stehende Welle

Die "blaue" Primärwelle läuft von links nach rechts. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft.

Im sichtbaren Bereich links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Bauch direkt an der Wand.

Nicht sichtbar rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, die beiden Wellen löschen sich daher rechts von der Wand aus.

Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das Magnetfeld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am losen Ende reflektiert wird.

Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem losen Ende
Tab. 1 Terme zur Analyse einer stehenden Welle bei Reflexion an einem losen Ende
Term der nach rechts laufenden Welle (blau) \[{{y_{\rm{rechts}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\]
Term der nach links laufenden Welle (rot) \[{{y_{\rm{links}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\]
Term der Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett) \[{{y_{\rm{ges}}}(x;t) = 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} \right) \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T}} \right)}\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich mit \( {\sin \left( {2 \, \pi  \cdot \frac{t}{T}} \right)} \) erfolgt, aber die Amplitude \( {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} \right)}\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot \hat y\) hat.

Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.

Abb. 2 Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende

Die "blaue" Primärwelle läuft von links nach rechts. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft. Diese "rote" Welle ist aber wegen der Reflexion am festen Ende gegenüber der "blauen" Welle um \(+\pi\) phasenverschoben.

Im sichtbaren Bereich links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Knoten direkt an der Wand.

Nicht sichtbar rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, die beiden Wellen löschen sich daher rechts von der Wand aus.

Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das elektrische Feld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am festen Ende reflektiert wird.

Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende
Tab. 2 Terme zur Analyse einer stehenden Welle bei Reflexion an einem festen Ende
Term der nach rechts laufenden Welle (blau) \[{{y_{\rm{rechts}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\]
Term der nach links laufenden, um \(+\pi\) phasenverschobenen Welle (rot) \[{{y_{\rm{links}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} + \pi\right)}\]
Term der Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett) \[{{y_{\rm{ges}}}(x;t) = 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} - \frac{\pi }{2} \right) \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T}} + \frac{\pi }{2}\right)}\]

Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich mit \( {\sin \left( {2 \, \pi  \cdot \frac{t}{T} + \frac{\pi }{2}} \right)} \) erfolgt, aber die Amplitude \( {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi  \cdot \frac{x}{\lambda }} - \frac{\pi }{2} \right)}\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot \hat y\) hat.

Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.