Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem losen Ende
Die "blaue" Primärwelle läuft von links nach rechts. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft.
Im sichtbaren Bereich links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Bauch direkt an der Wand.
Nicht sichtbar rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, die beiden Wellen löschen sich daher rechts von der Wand aus.
Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das Magnetfeld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am losen Ende reflektiert wird.
Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem losen Ende
| Term der nach rechts laufenden Welle (blau) | \[{{y_{\rm{rechts}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\] |
|---|---|
| Term der nach links laufenden Welle (rot) | \[{{y_{\rm{links}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\] |
| Term der Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett) | \[{{y_{\rm{ges}}}(x;t) = 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} \right) \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T}} \right)}\] |
Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich mit \( {\sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T}} \right)} \) erfolgt, aber die Amplitude \( {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \cdot \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} \right)}\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot \hat y\) hat.
Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.
Es wird davon ausgegangen, dass sich zwei sinusförmige Wellen gleicher Frequenz und, gleicher Amplitude, aber entgegengesetzter Laufrichtung überlagern. Wie du auf der Seite über die Wellenfunktion nachlesen kannst, gilt für die nach rechts, d.h. in Richtung der positiven \(x\)-Achse laufende Welle\[{y_{{\rm{rechts}}}}(x\;;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]sowie für die nach links, d.h. in Richtung der negativen \(x\)-Achse laufende Welle\[{y_{{\rm{links}}}}(x\;;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Die stehende Welle ergibt sich durch Überlagerung, d.h. Addition der der Wellenfunktionen dieser beiden Wellen:\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{ges}}}}(x\;;t) &=& {y_{{\rm{links}}}}(x\;;t) + {y_{{\rm{rechts}}}}(x\;;t)\\ &=& \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\\ &=& \hat y \cdot \left[ \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) \right] \quad (1)\end{eqnarray}\]Aus der Trigonometerie kennt man die folgende Beziehung\[\sin \left( \alpha \right) + \sin \left( \beta \right) = 2 \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) \quad (2)\]Wendet man die Beziehung \((2)\) bei der Gleichung \((1)\) an, so folgt\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{ges}}}}(x\;;t) &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{\left( {2 \,\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) - \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2 \, \pi \cdot \frac{t}{T} + 2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda } + 2 \,\pi \cdot \frac{t}{T} - 2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{2 \, \pi \cdot \frac{t}{T} + 2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - 2 \, \pi \cdot \frac{t}{T} + 2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }}}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{4 \, \pi \cdot \frac{t}{T}}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{4 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }}}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \frac{t}{T}} \right) \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} \right) \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \frac{t}{T}} \right) \quad(3)\end{eqnarray}\]Gleichung \((3)\) beschreibt die stehende Welle.
Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende
Die "blaue" Primärwelle läuft von links nach rechts. Sie stößt auf die Wand und regt so die "rote" Sekundärwelle an, die von der Wand aus in beide Richtungen läuft. Diese "rote" Welle ist aber wegen der Reflexion am festen Ende gegenüber der "blauen" Welle um \(+\pi\) phasenverschoben.
Im sichtbaren Bereich links von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gegenläufig und überlagert sich mit dieser zur "violetten" stehenden Welle mit doppelter Amplitude und einem Knoten direkt an der Wand.
Nicht sichtbar rechts von der Wand ist die "rote" Welle zur "blauen" gleichläufig und gegenphasig, die beiden Wellen löschen sich daher rechts von der Wand aus.
Hinweis: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle verhält sich das elektrische Feld ähnlich wie eine mechanische Welle, die am festen Ende reflektiert wird.
Stehende Welle durch Reflexion einer Welle an einem festen Ende
| Term der nach rechts laufenden Welle (blau) | \[{{y_{\rm{rechts}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \,\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\] |
|---|---|
| Term der nach links laufenden, um \(+\pi\) phasenverschobenen Welle (rot) | \[{{y_{\rm{links}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} + \pi\right)}\] |
| Term der Überlagerung (Summe) beider Wellen (violett) | \[{{y_{\rm{ges}}}(x;t) = 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} - \frac{\pi }{2} \right) \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T}} + \frac{\pi }{2}\right)}\] |
Dies ist die Gleichung der stehenden Welle. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass an allen Punkten die Schwingung phasengleich mit \( {\sin \left( {2 \, \pi \cdot \frac{t}{T} + \frac{\pi }{2}} \right)} \) erfolgt, aber die Amplitude \( {2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {2 \, \pi \cdot \frac{x}{\lambda }} - \frac{\pi }{2} \right)}\) vom Ort abhängt und an der Wand einen Bauch mit der Größe \(2 \cdot \hat y\) hat.
Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.
Es wird davon ausgegangen, dass sich zwei sinusförmige Wellen gleicher Frequenz und, gleicher Amplitude, aber entgegengesetzter Laufrichtung überlagern. Dabei ist eine Welle gegenüber der anderen um \(+\pi\) phasenverschoben. Wie du auf der Seite über die Wellenfunktion nachlesen kannst, gilt für die nach rechts, d.h. in Richtung der positiven \(x\)-Achse laufende Welle
\[{y_{{\rm{rechts}}}}(x\;;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
sowie für die nach links, d.h. in Richtung der negativen \(x\)-Achse laufende Welle
\[{y_{{\rm{links}}}}(x\;;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} +\pi \right)\]
Die stehende Welle ergibt sich durch Überlagerung, d.h. Addition der der Wellenfunktionen dieser beiden Wellen:
\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{ges}}}}(x\;;t) &=& {y_{{\rm{rechts}}}}(x\;;t) + {y_{{\rm{links}}}}(x\;;t)\\ &=& \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \hat y \cdot \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} +\pi \right)\\ &=& \hat y \cdot \left[ \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \sin \left( {2 \, \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} + \pi \right) \right] \quad (1)\end{eqnarray}\]
Aus der Trigonometerie kennt man die folgende Beziehung
\[\sin \left( \alpha \right) + \sin \left( \beta \right) = 2 \cdot \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\alpha - \beta }}{2}} \right) \quad (2)\]
Wendet man die Beziehung \((2)\) bei der Gleichung \((1)\) an, so folgt
\[\begin{eqnarray}{y_{{\rm{ges}}}}(x\;;t) &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{\left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) + \left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right) + \pi } \right)}}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{\left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right) - \left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right) + \pi } \right)}}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} - 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } + 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} + 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } + \pi }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} - 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} - 2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - \pi }}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {\frac{{4{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} + \pi }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\frac{{-4{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - \pi }}{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \sin \left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} + \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \cos \left( {-2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - \frac{\pi }{2}} \right)\\ &=& 2 \cdot \hat y \cdot \cos \left( {-2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{x}{\lambda } - \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \sin \left( {2{\mkern 1mu} \pi \cdot \frac{t}{T} + \frac{\pi }{2}} \right)\quad (3)\end{eqnarray}\]
Gleichung \((3)\) beschreibt die stehende Welle.