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Aufgabe

Relativistische Protonen (Abitur BY 1974 LK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)Untersuche, von welcher Beschleunigungsspannung an man für Protonen den relativistischen Massenzuwachs berücksichtigen müsste, wenn man dies üblicherweise für \(v > 0{,}1c\) tut.

b)Ein Proton habe die Gesamtenergie von \(3{,}00\,\rm{GeV}\).

Berechne den Anteil seiner kinetischen Energie, seine Geschwindigkeit und das Verhältnis seiner Masse zu seiner Ruhemasse.

c)Um Protonen von \(3{,}0\,\rm{GeV}\) Gesamtenergie auf einer Kreisbahn vom Umfang \(1{,}5\,\rm{km}\) zu halten, benötigt man ein magnetisches Führungsfeld.

Berechne dessen Flussdichte.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Bei der angegebenen Geschwindigkeit von \(0,1c\) sollten sich relativistische und nicht relativistische Rechnung nicht wesentlich unterscheiden. Trotzdem werden beide Möglichkeiten vorgestellt:

Nichtrelativistische Rechnung:\[\frac{1}{2} \cdot {m_{{\rm{0,p}}}} \cdot v_{{\rm{Grenz}}}^2 = e \cdot {U_{{\rm{Grenz}}}} \Leftrightarrow {U_{\rm{Grenz}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{v_{{\rm{Grenz}}}^2}}{{\frac{e}{m_{{\rm{0,p}}}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{U_{{\rm{grenz}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {0,10 \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{9,6 \cdot {{10}^7}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 4,7 \cdot {10^6}{\rm{V}}\]

Relativistische Rechnung:\[{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_0} \Leftrightarrow e \cdot {U_{{\rm{Grenz}}}} = {m_{\rm{p}}} \cdot {c^2} - {m_{{\rm{0,p}}}} \cdot {c^2} = {m_{0,p}} \cdot {c^2} \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{v_{{\rm{Grenz}}}}}}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right)\]Weitere Umformungen liefern\[{U_{{\rm{Grenz}}}} = \frac{{{c^2}}}{{\frac{e}{{{m_{{\rm{0,p}}}}}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{v_{{\rm{Grenz}}}}}}{c}} \right)}^2}} }} - 1} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{U_{{\rm{Grenz}}}} = \frac{{{{\left( {3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{9,6 \cdot {{10}^7}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {0,10} \right)}^2}} }} - 1} \right) = 4,7 \cdot {{10}^6}{\rm{V}}}\] Hinweis: Ab einer Beschleunigungsspannung von ca. \(4,7\rm{MV}\) muss man bei Protonen relativistisch rechnen.

b)Berechnung der Ruheenergie:\[{{E_{{\rm{0}}{\rm{,p}}}} = {m_{{\rm{0}}{\rm{,p}}}} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{{\rm{0,p}}}} = 1,67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} = 1,50 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{J}} = \frac{{1,50 \cdot {{10}^{ - 10}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} = 938{\rm{MeV}}}\]Berechnung der kinetischen Energie:\[{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_{{\rm{0}}{\rm{,p}}}} \Rightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = 3,00 \cdot {10^9}{\rm{eV}} - 0,94 \cdot {10^9}{\rm{eV}} = 2,06 \cdot {10^9}{\rm{eV}}\]Anteil der kinetischen Energie an der Gesamtenergie:\[p\%  = \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{E} = \frac{{2,06 \cdot {{10}^9}{\rm{eV}}}}{{3,00 \cdot {{10}^9}{\rm{eV}}}} = 0,69 = 69\% \]Berechnung des Massenverhältnisses:\[\frac{m}{{{m_{{\rm{0,p}}}}}} = \frac{E}{{{E_{{\rm{0,p}}}}}} \Rightarrow \frac{m}{{{m_{{\rm{0,p}}}}}} = \frac{{3,00}}{{0,94}} = 3,2\]Berechnung der Geschwindigkeit:\[\frac{m}{{{m_{{\rm{0,p}}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{{{m_{{\rm{0,p}}}}}}{m} \Rightarrow 1 - {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{m_{{\rm{0,p}}}}}}{m}} \right)^2} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_{\rm{0,p}}}}}{m}} \right)}^2}} \]Weitere Umformungen und Einsetzen der bisherigen Ergebnisse liefert\[v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{3,2}}} \right)}^2}}  = 0,95c\]

c)Die LORENTZ-Kraft wirkt hier als Zentripetalkraft. Somit gilt\[{{F_L} = {F_{ZP}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow B = \frac{{m \cdot v}}{{e \cdot r}} = \frac{{3,2 \cdot {m_{{\rm{0}}{\rm{,p}}}} \cdot v}}{{e \cdot r}} = \frac{{3,2 \cdot v}}{{\frac{e}{{{m_{{\rm{0,p}}}}}} \cdot r}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert unter Berücksichtigung von \(u = 2 \cdot \pi  \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{u}{{2 \cdot \pi }}\)\[{B = \frac{{3,2 \cdot 0,95 \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{9,6 \cdot {{10}^7}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{1,5 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{2 \cdot \pi }}}} = 40{\rm{mT}}}\]