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Aufgabe

Relativistische Protonen (Abitur BY 1974 LK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

a)

Untersuche, von welcher Beschleunigungsspannung an man für Protonen den relativistischen Massenzuwachs berücksichtigen müsste, wenn man dies üblicherweise für \(v > 0{,}10c\) tut.

b)

Ein Proton habe die Gesamtenergie von \(3{,}00\,\rm{GeV}\).

Berechne den Anteil seiner kinetischen Energie, das Verhältnis seiner Masse zu seiner Ruhemasse und seine Geschwindigkeit.

c)

Um Protonen von \(3{,}00\,\rm{GeV}\) Gesamtenergie auf einer Kreisbahn vom Umfang \(1{,}50\,\rm{km}\) zu halten, benötigt man ein magnetisches Führungsfeld.

Berechne dessen Flussdichte.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

Bei der angegebenen Geschwindigkeit von \(0,1c\) sollten sich relativistische und nicht relativistische Rechnung nur geringfügig unterscheiden. Trotzdem werden beide Möglichkeiten vorgestellt:

Nichtrelativistische Rechnung: \[e\cdot U_{\rm{Grenz}}= \frac{1}{2}\cdot m_{0,_{\rm{P}}}\cdot v_{\rm{Grenz}}^2\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}}=\frac{m_{0,_{\rm{P}}}\cdot v_{\rm{Grenz}}^2}{2\cdot e}\]

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[U_{\rm{Grenz}}=\frac{1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot\left(0,10\cdot 3,00\cdot10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}{2\cdot 1,60\cdot10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}=4,70\cdot 10^6\, {\rm{V}}\]

Relativistische Rechnung: \[E_{\rm{gesamt}}=E_0+E_{\rm{kin}} \Leftrightarrow m(v)_{\rm{P}}\cdot c^2 + U_{\rm{Grenz}}\cdot e\]

\[\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}}\cdot e = m(v)_{\rm{P}}\cdot c^2-m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2\]

Mit der relativistischen Massenformel \(m(v)_{\rm{P}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}\) folgt:

\[U_{\rm{Grenz}}\cdot e = c^2\cdot \left(\frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-m_{0_{,\rm{P}}}\right) = m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2\cdot \left(\frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-1\right)  \]

\[\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2}{e}\cdot \left(\frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-1\right)\]

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[ U_{\rm{Grenz}} = \frac{1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot 3,00\cdot 10^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}{1,60\cdot 10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(0,10^2\right)}}-1\right)=4,73\cdot 10^6\,{\rm{V}}\]

Hinweis: Ab einer Beschleunigungsspannung von ca. \(4,7\rm{MV}\) muss man bei Protonen relativistisch rechnen.

b)

Umrechnung der Gesamtenergie in \(\rm{J}\):

\[E_{\rm{ges}}=3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}=\left(3,00\cdot 10^9\cdot 1,60\cdot10^-19\right)\,{\rm{J}}\]

 

Berechnung der Ruheenergie:

\[E_{0_{,\rm{P}}}= m_0\cdot c^2 \Rightarrow E_{0_{,\rm{P}}} = 1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot \left(3,00\cdot 10^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\right)^2 = 1,50\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=9,4\cdot 10^8\,{\rm{eV}}\]

 

Berechnung der kinetischen Energie:

\[E_{\rm{kin}}=E_{\rm{ges}}-E_0\]

\[\Rightarrow E_{\rm{kin}} = 4,81\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}-1,50\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=3,31\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=2,07\cdot 10^9\,{\rm{eV}}\]

 

Anteil der kin. Energie an der Gesamtenergie:

\[\frac{E_{\rm{kin}}}{E_{\rm{ges}}}=\frac{2,07\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}{3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}=69\%\]

 

Berechnung des Massenverhältnisses:

relativistische Masse: \[m(v)_{,\rm{P}} = \frac{m_{o_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{E_{\rm{ges}}}{c^2}\]

Ruhemasse: \[m_{0_{,\rm{P}}}=\frac{E_0}{c^2}\]

Damit folgt für das Verhältnis aus beiden Massen:

\[\Rightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}=\frac{E_{\rm{ges}}}{E_0} \]

\[\Rightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}} = \frac{3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}{9,40\cdot 10^8\,{\rm{eV}}}=3,19 \]

 

Berechnung der Geschwindigkeit:

\[m(v)_{,\rm{P}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)} \Leftrightarrow 1-\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2}\]

\[\Leftrightarrow \frac{v^2}{c^2} = 1- \frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2} \Leftrightarrow v=\sqrt{1-\frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2}}\cdot c\]

Einsetzen des bereits errechneten Massenverhältnisses liefert:

\[v = \sqrt{1-\frac{1}{3,19^2}}\cdot c = 0,95\cdot c\]

c)

Ansatz für bewegte Ladungen im Magnetfeld: Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft und zwingt die Protonen auf eine Kreisbahn. Somit gilt:

\[F_L=F_{ZP}\Leftrightarrow e\cdot v\cdot B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot v^2}{r}\]

Mit \(r = \frac{U}{2\cdot \pi}\) folgt:

\[e\cdot v\cdot B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot 2\cdot \pi\cdot v^2}{U} \Leftrightarrow B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot 2\cdot \pi \cdot v}{U\cdot e}\]

Einsetzen der Werte liefert:

\[B =\frac{3,19\cdot 1,27\cdot10{-27}\,{\rm{kg}}\cdot 0,95\cdot 3,00\cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\cdot 2\cdot \pi}{1500\,{\rm{m}}\cdot 1,60\cdot 10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}=0,40\,{\rm{T}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Kern-/Teilchenphysik

Teilchenphysik