Im Jahre 1909 konnte Alfred BUCHERER (1863 - 1927) die Abhängigkeit der Elektronenmasse von der Geschwindigkeit mit nebenstehender Anordnung nachweisen. Als Elektronenquelle diente ein β--Strahler, der Elektronen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aussendet.
a)Erläutere, wie die eingezeichnete Bahn zustande kommt.
Gib an, wie der Kondensator gepolt sein muss.
b)Berechne die Masse \(m\) der Elektronen in Abhängigkeit von der elektrischen Feldstärke \(E\) im Kondensator, der magnetischen Flussdichte \(B\), dem Abstand \(s\) und der Ablenkung \(d\). Verwende bei der Rechnung ohne Nachweis die Näherung \({s^2} \approx 2 \cdot r \cdot d\), wobei \(r\) der Radius der Kreisbahn im Magnetfeld ist. [Zur Kontrolle : \(m = \frac{{e \cdot {B^2} \cdot {s^2}}}{{2 \cdot E \cdot d}}\)]
Für \(E = 8,0 \cdot {10^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\), \(B = 4,0{\rm{mT}}\) und \(s = 5,0{\rm{cm}}\) ergibt sich eine Ablenkung von \(d = 3,3{\rm{mm}}\).
c)Zeige, dass die Messung die Massenzunahme nach der speziellen Relativitätstheorie bestätigt.
Berechne, um wie viel Prozent vom wirklichen Messwert \(d\) die Ablenkung abweichen würde, wenn die Masse geschwindigkeitsunabhängig wäre.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Elektronen fliegen unabgelenkt durch den Kondensator. Dies ist dann der Fall, wenn sich die durch das Magnetfeld bedingte LORENTZ-Kraft \({\vec F_{\rm{L}}}\) und die durch den Kondensator bedingte elektrische Kraft \({\vec F_{\rm{el}}}\) aufheben.
Mit der Drei-Finger-Regel findet man, dass die LORENTZ-Kraft nach unten zeigt. Damit die auf ein Elektron wirkende elektrische Kraft nach oben zeigt, muss die obere Platte des Kondensators positiv, die unter negativ geladen sein.
Nach dem Verlassen des Kondensators wirkt nur noch die LORENTZ-Kraft. Unter deren Einfluss durchlaufen die Elektronen einen Teil einer Kreisbahn.
b)Berechnung der Geschwindigkeit: Für diejenigen Elektronen, die den Kondensator unabgelenkt durchlaufen, gilt\[{F_{{\rm{el}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow e \cdot E = e \cdot v \cdot B \Leftrightarrow v = \frac{E}{B}\]Berechnung der Elektronenmasse \(m\): Die LORENTZ-Kraft wirk hier als Zentripetalkraft. Damit ergibt sich\[\frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Leftrightarrow m = \frac{{r \cdot e \cdot B}}{v}\]Mit \(r \approx \frac{{{s^2}}}{{2 \cdot d}}\) erhält man\[m = \frac{{e \cdot {B^2} \cdot {s^2}}}{{2 \cdot E \cdot d}}\]
Hinweis: Die Beziehung \( s^2 \approx 2 \cdot r \cdot d \) erhält man durch die folgende Überlegung (war im Abitur nicht verlangt): Das rot gezeichnete Dreieck ist rechtwinklig (THALES-Kreis). Wendet man den Höhensatz auf dieses Dreieck an, so gilt (vorausgesetzt, dass \( d \ll r \))\[d \cdot \left( {2 \cdot r - d} \right) = {s^2} \Leftrightarrow {s^2} = 2 \cdot r \cdot d - {d^2} \Rightarrow {s^2} \approx 2 \cdot r \cdot d\]
c)Setzt man die gegebenen Daten in die bei b) entwickelte Formel ein, so ergibt sich der experimentell ermittelte Massenwert:\[{m_{{\rm{exp}}}} = \frac{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {{\left( {4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {0,050{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 8,0 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 3,3 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 1,2 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{kg}}\]Mit Hilfe der Relativitätstheorie ermittelt man den folgenden theoretischen Wert: Berechnung der Geschwindigkeit:\[v = \frac{E}{B} \Rightarrow v = \frac{{8,0 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}}}{{4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 2,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Berechnung der geschwindigkeitsabhängigen Masse:\[{m_{{\rm{theor}}}} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow {m_{theor}} = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)}^2}} }} = 1,2 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{kg}}\]Die Übereinstimmung stellt eine Bestätigung der Aussage der Relativitätstheorie dar, dass die Masse nach der oben dargestellten Beziehung geschwindigkeitsabhängig ist. Löst man die in Teilaufgabe b) gefundene Formel nach der Ablenkstrecke auf und setzt die Ruhemasse des Elektrons ein, so ergibt sich die Ablenkung \(d^\ast \):\[{d^ * } = \frac{{e \cdot {B^2} \cdot {s^2}}}{{2 \cdot E \cdot {m_0}}} \Rightarrow {d^ * } = \frac{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {{\left( {4,0 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {0,050{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 8,0 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 4,4 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{m}}\]Für die prozentuale Abweichung gilt dann\[p\% = \frac{{4,4 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}} - 3,3 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{3,3 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 33\% \]
