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Aufgabe

Ringbeschleuniger (Abitur BY 2010 LK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einer Anlage zur Teilchenbeschleunigung treten Protonen nach einem Vorbeschleuniger in einen knapp \(27\,\rm{km}\) langen, ringförmigen Endbeschleuniger ein, der sich in einem unterirdischen Tunnel befindet. Insgesamt wird jedes Proton auf eine Gesamtenergie von \(7{,}0\,\rm{TeV}\) beschleunigt.

a)Erläutere, wie es möglich ist, die Protonen auf eine ringförmige Bahn zu zwingen und zudem ihre Geschwindigkeit zu erhöhen. (5 BE)

b)Beim Betrieb des Endbeschleunigers tritt im Tunnel Strahlung auf.

Erkläre, wie diese Strahlung zustande kommt und warum deshalb ein Aufenthalt im Tunnel verboten ist. (4 BE)

Gehe im Folgenden davon aus, dass sich die Protonen auf einer Kreisbahn in einem räumlich homogenen Magnetfeld bewegen.

c)Erkläre, warum die Flussdichte des Magnetfelds vom Ausgangswert \({B_{{\rm{min}}}} = 0{,}35\,{\rm{T}}\) kontinuierlich auf einen Maximalwert \({B_{{\rm{max}}}}\) erhöht werden muss, obwohl die Protonen bereits beim Einschuss nahezu mit Lichtgeschwindigkeit kreisen.

Berechne \({B_{{\rm{max}}}}\). [zur Kontrolle: \({B_{{\rm{max}}}} = 5{,}4\,{\rm{T}}\)] (11 BE)

d)Im Endbeschleuniger wird das Magnetfeld von supraleitenden Spulen mit jeweils \(160\) Windungen und der Querschnittsfläche \(A = 1{,}8\,{{\rm{m}}^2}\) erzeugt. Die Protonen erreichen \(20\) Minuten nach Eintritt in den Ring ihre Maximalenergie.

Begründe, warum während dieser \(20\) Minuten in den Spulen eine Gegenspannung auftritt und berechne deren Mittelwert. (5 BE)

Angeregt von Berichten über Ringbeschleuniger möchte ein Kollegiat im physikalischen Praktikum mit einer (langgestreckten) Spule ein magnetisches Feld von \(5\,\rm{T}\) erzeugen. Die Spule enthalte Luft.

e)Wie schätzt du seine Chancen ein? Argumentiere mit Hilfe von Berechnungen, bei denen du notwendige Werte realistisch abschätzst. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Durch ringförmig angebrachte Ablenkmagnete können die Protonen annähernd auf einer Kreisbahn gehalten werden (Kraft auf bewegte Ladungsträger im Magnetfeld). Zwischen den Ablenkmagneten befinden sich Beschleunigungselemente, welche z.B. mit elektrischen Wechselfeldern betrieben werden und eine Beschleunigung längs der Teilchenbahn bewirken.

b)Grundsätzlich kommt es zur Emission von Strahlung, wenn geladene Teilchen beschleunigt werden. Dies ist z.B. in den Beschleunigungselementen der Fall. Außerdem erfahren die Teilchen auf der Nahezu-Kreisbahn eine Zentripetalbeschleunigung, welche ebenfalls zur Abstrahlung von Energie führt (z.B. Synchrotronstrahlung).

c)Aufgrund der Beschleunigung in Längsrichtung nimmt die Energie und auch der Impuls \(p\) der Teilchen ständig zu, obwohl deren Geschwindigkeit nahezu konstant ist. Da die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt, erhält man\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \Leftrightarrow e \cdot B = \frac{{m \cdot v}}{r} = \frac{p}{r} \Leftrightarrow B = \frac{p}{{e \cdot r}}\quad (1)\]Diese Beziehung zeigt, dass bei Impulszunahme auch das Magnetfeld gesteigert werden muss, wenn eine Bahn mit festem Radius eingehalten werden soll. Die Ruheenergie der Protonen ist ca. \({E_0} = 9,4 \cdot {10^8}{\rm{eV}}\), die Gesamtenergie der Protonen ist lt. Angabe \(E = 7,0 \cdot {10^{12}}{\rm{eV}}\). Über die relativistische Energie-Impuls-Beziehung und der Tatsache, dass \({E \gg {E_0}}\) ist, gelangt man zum Impuls:\[{{E^2} = E_0^2 + {p^2} \cdot {c^2} \approx {p^2} \cdot {c^2} \Rightarrow E \approx p \cdot c \Rightarrow p = \frac{E}{c}\quad(2)}\]Einführen der Gesamtlänge:\[l = 2 \cdot \pi  \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{l}{{2 \cdot \pi }}\quad(3)\]Setzt man \((3)\) und \((2)\) in \((1)\) ein, so erhält man bei Verwendung der Maximalenergie von \(7,0\rm{TeV}\)\[{{B_{{\rm{max}}}} = \frac{{\frac{E}{c}}}{{e \cdot \frac{l}{{2 \cdot \pi }}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot E}}{{e \cdot c \cdot l}} \Rightarrow {B_{{\rm{max}}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 7,0 \cdot {{10}^{12}} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 3,0 \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 27 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}} = 5,4{\rm{T}}}\]

d)Mit wachsendem Impuls der Protonen muss auch die Flussdichte des Magnetfelds wachsen. Die damit verbundene zeitliche Flussänderung induziert die Gegenspannung.\[|{U_{{\rm{ind}}}}| = N \cdot \dot \Phi  = N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}} \Rightarrow |{{\bar U}_{{\rm{ind}}}}| = 160 \cdot 1,8{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot \frac{{\left( {5,4\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} - 0,35\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}} \right)}}{{20 \cdot 60{\rm{s}}}} = 1,2{\rm{V}}\]

e)Werte für die Abschätzung: \( I \le 10 \rm{A} \) und \( \frac{N}{l} \le 100 \rm{\frac{1}{cm}} \) (Hohe Windungsdichten begrenzen die maximale Stromstärke und umgekehrt). Man erhält\[B = {\mu _0} \cdot I \cdot \frac{N}{l} \Rightarrow B = 4 \cdot \pi  \cdot {10^{ - 7}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot 10{\rm{A}} \cdot 100 \cdot {10^2}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}} \le 0,13{\rm{T}}\]Die durch "luftgefüllte" Spulen erreichbaren Flussdichten liegen deutlich unterhalb von \(5\rm{T}\).