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Aufgabe

Energie des Protonenstrahls im LHC

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein Teilchenbeschleuniger am Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf. In einem \(26{,}659\,\rm{km}\) langen Ringtunnel, der sich in \(50 - 175\,\rm{m}\) Tiefe unter der Erde befindet, bewegen sich Protonen mit unvorstellbar hohen Geschwindigkeiten und damit auch sehr hohen Energien. Bei diesen hohen Geschwindigkeiten muss man aufgrund der Ergebnisse der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) von Albert EINSTEIN die Energie eines Teilchens nach der berühmten Formel \(E = m \cdot {c^2}\) berechnen. Dazu sagt die SRT weiter, dass die Masse \(m\) des Teilchens mit seiner Geschwindigkeit \(v\) zunimmt; dabei gilt allgemein\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\]Hierbei ist \({{m_0}}\) die sogenannte Ruhemasse (für ein Proton \({{m_0} = 1{,}673 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}\)) und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit.

a)Auf der sehr informativen Internetseite LHC-Facts findet man die Aussage, dass die Energie eines Protons, das sich mit \(99{,}99996\%\) der Lichtgeschwindigkeit bewegt, in etwa der Bewegungsenergie einer Mücke im Flug entspricht.

Berechne mit den obigen Informationen die relativistische Energie eines Protons, das sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt.

Berechne unter der Annahme, dass die Mücke eine Masse von \(2\,\rm{mg}\) und eine Geschwindigkeit von \(1{,}8\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) besitzt, die kinetische Energie der Mücke und vergleiche die beiden Werte.

b)Wird der LHC mit der höchsten Energie betrieben, so haben die Protonen eine Geschwindigkeit von \(99,9999991\%\) der Lichtgeschwindigkeit. Ein Strahlrohr des LHC ist dann gefüllt mit \(2808\) Paketen von Protonen, von denen jedes Paket wiederum \(115\) Milliarden Protonen enthält. Auf LHC-Fact findet man die Aussage, dass die Gesamtenergie pro Protonenstrahl und höchster LHC Energie der kinetischen Energie eines \(400\) Tonnen schweren Zuges (ungefähr ein siebenteiliger ICE) entspricht, der eine Geschwindigkeit von \(150\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) besitzt.

Berechne mit den obigen Informationen die relativistische Energie der gesamten Protonen, die sich im Strahlrohr befinden und sich mit der höchsten Geschwindigkeit bewegen.

Berechne die kinetische Energie des Zuges und vergleiche die beiden Werte.

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a)Mit\[v = 99,99996\%  \cdot c \Leftrightarrow \frac{v}{c} = 99,99996\% \]erhält man für die Masse des Protons\[{m_{\rm{p}}} = \frac{{{m_{0,{\rm{p}}}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow {m_{\rm{p}}} = \frac{{1,673 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {99,99996\% } \right)}^2}} }} = 1,870 \cdot {10^{ - 24}}{\rm{kg}}\]und damit für seine Energie\[{E_{\rm{p}}} = {m_{\rm{p}}} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{\rm{p}}} = 1,870 \cdot {10^{ - 24}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {2,998 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1,681 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{J}}\]Für die kinetische Energie der fliegenden Mücke erhält man mit \({m_{\rm{M}}} = 2 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{kg}}\) und \({v = \frac{{1,8}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\)\[{E_{\rm{kin,M}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{M}}} \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{\rm{kin,M}}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{1,8}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 2,5 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{J}}\]was in der gleichen Größenordnung liegt.

b)Mit\[v = 99,9999991\%  \cdot c \Leftrightarrow \frac{v}{c} = 99,9999991\% \]erhält man für die Masse eines Protons\[{m_{\rm{p}}} = \frac{{{m_{0,{\rm{p}}}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow {m_{\rm{p}}} = \frac{{1,673 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {99,9999991\% } \right)}^2}} }} = 1,247 \cdot {10^{ - 23}}{\rm{kg}}\]und damit für seine Energie\[{E_{\rm{p}}} = {m_{\rm{p}}} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_{\rm{p}}} = 1,247 \cdot {10^{ - 23}}{\rm{kg}} \cdot 2,998 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,121 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{J}}\]Die Strahlenergie beträgt somit\[{E_{\rm{S}}} = 2808 \cdot 115 \cdot {10^9} \cdot {E_{\rm{p}}} = 2808 \cdot 115 \cdot {10^9} \cdot 1,121 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{J}} = 362 \cdot {10^6}{\rm{J}}\]Für die kinetische Energie des Zuges erhält man mit \({m_{\rm{Z}}} = 400 \cdot {10^3}{\rm{kg}}\) und \({v = \frac{{150}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\)\[{E_{\rm{kin,M}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{M}}} \cdot {v^2} \Rightarrow {E_{\rm{kin,M}}} = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot {10^{ 3}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {\frac{{150}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 347 \cdot {10^6}{\rm{J}}\]was fast gleich groß ist.