Das Betatron ist ein sehr kompakter Beschleuniger für Elektronen. Diese kreisen innerhalb einer evakuierten Ringröhre in einem Magnetfeld, das durch zwei Elektromagneten erzeugt wird. Abb. 1 zeigt den zur vertikalen Achse rotationssymmetrischen Aufbau im Querschnitt.
a)Gib für das eingezeichnete Magnetfeld die Bewegungsrichtung der Elektronen in den Spulen der Elektromagneten an.
Bestimme die Umlaufrichtung der Elektronen in der Ringröhre. (4 BE)
Die erste Funktion des Magnetfeldes ist es, Elektronen auf einer Kreisbahn mit Radius \(R = 16\,{\rm{cm}}\) zu halten. Die Elektronen treten mit der einheitlichen Geschwindigkeit \({v_0} = 2{,}7 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) tangential in die Ringröhre ein.
b)Erkläre Aufbau und Funktionsweise eines Filters, der es ermöglicht, einen Strahl von Elektronen einheitlicher Geschwindigkeit zu erhalten. (6 BE)
c)Zeige, dass die Flussdichte \({B_R}\) des Magnetfelds am Ort der Elektronenbahn zum Zeitpunkt des Eintretens \(0{,}96\,\rm{mT}\) betragen muss.
Beschreibe anschließend die Auswirkungen einer zu kleinen bzw. zu großen magnetischen Flussdichte auf die Bewegung der Elektronen. (8 BE)
d)Erkläre, dass bei konstantem Magnetfeld keine Veränderung der Bahngeschwindigkeit stattfindet. (3 BE)
Die zweite Funktion des Magnetfelds ist die Erhöhung der Elektronengeschwindigkeit. Dazu wird an den Elektromagneten ein sinusförmiger Wechselstrom mit der Frequenz \(f = \frac{1}{T} = 50\,{\rm{Hz}}\) angelegt. Für \(0 \le t \le \frac{T}{4}\) steigt das Magnetfeld von \(0\) ausgehend an, wobei durch Induktion ein elektrisches Wirbelfeld entsteht, das die Geschwindigkeit der Elektronen erhöht.
e)Gib jeweils einen Grund dafür an, dass die Zeiträume \(\frac{T}{4} \le t \le \frac{T}{2}\) und \(\frac{T}{2} \le t \le T\) nicht für eine Erhöhung der Bahngeschwindigkeit genutzt werden können. (5 BE)
Im Betatron werden Elektronen auf die Endgeschwindigkeit \(0{,}99\,c\) beschleunigt und danach wieder aus dem Beschleuniger geleitet.
f)Zeige, dass für die Beschleunigung der Elektronen auf \(97\%\) der Lichtgeschwindigkeit in etwa die gleiche Energie benötigt wird wie zur weiteren Beschleunigung auf die Endgeschwindigkeit. (7 BE)
g)Schätze die Anzahl der Umläufe der Elektronen im Betatron nach oben ab, indem du davon ausgehst, dass sie sich für eine Zeitdauer von \(\frac{1}{4}T\) im Betatron befinden und sich dabei stets mit \(99\%\) der Lichtgeschwindigkeit bewegen. (5 BE)
h)Häufig ist zu lesen, dass die Energie geladener Teilchen nicht durch Magnetfelder erhöht werden kann.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
Abb. 2 Querschnitt eines Betatrons mit eingezeichneter Stromrichtung
a)Abb. 2 zeigt den Querschnitt des Betatrons mit eingezeichneter Stromrichtung. Die Stromrichtung wird mit der „Recht-Faust-Regel“ ermittelt und ist in der Farbe Lila eingezeichnet.
Die negativen Elektronen bewegen sich entgegen der Stromrichtung. Von oben betrachtet bewegen sich die Elektronen im Uhrzeigersinn.
Abb. 3 Skizze eines WIENschen Geschwindigkeitsfilters
b)Abb. 3 zeigt eine Skizze eines WIENschen Geschwindigkeitsfilters. Gelangen Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit (von links) durch die Blende in die Anordnung bei der das homogene Magnetfeld in die Zeichenebene und das homogene elektrische Feld von oben nach unten gerichtet ist, so gelangen nur die Elektronen durch die Anordnung für die gilt\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow e \cdot {v_0} \cdot B = e \cdot E \Leftrightarrow {v_0} = \frac{E}{B}\]Elektronen mit \(v<{v_0}\) werden nach oben abgelenkt. Elektronen mit \(v>{v_0}\) werden nach unten abgelenkt, so dass nach der rechten Blende ein nahezu monoenergetischer Elektronenstrahl vorliegt.
c)Um die Elektronen mit der Geschwindigkeit \({v_0} = 2{,}7 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) auf einer Kreisbahn mit \(R=16\,\rm{cm}\) zu halten muss die durch das Magnetfeld \({B_R}\) bedingte LORENTZ-Kraft die notwendige Zentripetalkraft aufbringen. Damit ergibt sich\[e \cdot v \cdot B = {m_e} \cdot \frac{{{v^2}}}{R} \Leftrightarrow {B_R} = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot R}} \Rightarrow {B_R} = \frac{{9{,}1 \cdot {{10}^{ - 31}}\,{\rm{kg}} \cdot 2{,}7 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}} \cdot 0{,}16\,{\rm{m}}}} = 9{,}6 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{T}}\]
d)Bei einem kleinerem Magnetfeld \({B_R}\) wäre der Bahnradius größer, wodurch die Elektronen an die Außenwand der Ringröhre treffen würden.
Bei einem größeren \({B_R}\) treffen die Elektronen auf die Innenwand der Ringröhre.
e)Während zwischen \(0 \le t \le \frac{T}{4}\) die Wechselspannung und damit auch das Magnetfeld ansteigt, sinkt die Spannung und damit auch das Magnetfeld im Bereich \(\frac{T}{4} \le t \le \frac{T}{2}\) ab. Die Wirkung der Induktion kehrt sich um, die Elektronen werden abgebremst. Im Zeitraum \(\frac{T}{2} \le t \le T\) kehrt sich die Richtung des Magnetfeldes um, wodurch eine nach außen wirkende LORENTZ-Kraft entsteht, die nicht mehr als Zentripetalkraft wirken kann.
f)Für die Gesamtenergie der Elektronen gilt die Beziehung\[E = m \cdot c = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2}\]Bei der Geschwindigkeit \(v=0\) gilt\[{E_0} = {m_0} \cdot {c^2} \Rightarrow {E_0} = 0{,}511\,{\rm{MeV}}\]Bei der Geschwindigkeit \(v_1= 0{,}97\,c\) gilt\[{E_1} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{0{,}97}^2}} }} \Rightarrow {E_1} = 2{,}10\,{\rm{MeV}}\]Bei der Geschwindigkeit \(v_2= 0{,}99\,c\) gilt\[{E_2} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{0{,}99}^2}} }} \Rightarrow {E_2} = 3{,}62\,{\rm{MeV}}\]Um die Elektronen von Geschwindigkeit \({v_0} = 0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) auf die Geschwindigkeit \(v_1= 0{,}97\,c\) zu beschleunigen, ist die Energie\[\Delta {E_{01}} = 2{,}10\,{\rm{MeV}} - 0{,}51\,{\rm{MeV}} = 1{,}59\,{\rm{MeV}}\]notwendig. Für die Beschleunigung von \(v_1= 0{,}97\,c\) auf die Geschwindigkeit \(v_2= 0{,}99\,c\) benötigt man die Energie\[\Delta {E_{12}} = 3{,}62\,{\rm{MeV}} - 2{,}10\,{\rm{MeV}} = 1{,}52\,{\rm{MeV}}\]
g)Während eines Umlaufs findet eine Beschleunigung nur innerhalb einer Zeitspanne von \(\Delta t = \frac{T}{4} = \frac{1}{{4 \cdot f}}\) statt. Geht man bei dieser Abschätzung näherungsweise davon aus, dass die Geschwindigkeit bei allen Umläufen in der Zeit \(\frac{T}{4}\) stets \(0{,}99\,c\) ist, so erhält für die von den Elektronen zurückgelegte Strecke\[\Delta x = 0{,}99\,c \cdot \Delta t = 0{,}99\,c \cdot \frac{1}{{4 \cdot f}} \Rightarrow \Delta x = 0{,}99 \cdot 3{,}0 \cdot {10^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{1}{{4 \cdot 50\,\frac{1}{s}}} = 1{,}5 \cdot {10^6}\,{\rm{m}}\]Die Strecke, die bei einem Umlauf zurückgelegt wird, ist\[u = 2 \cdot \pi \cdot R \Rightarrow u = 2 \cdot \pi \cdot 0{,}16\,{\rm{m}} \approx 1{,}0{\rm{m}}\]Für die Zahl \(N\) der Umläufe ergibt diese grobe Abschätzung dann\[N = \frac{{\Delta x}}{u} \Rightarrow N = \frac{{1{,}5 \cdot {{10}^6}\,{\rm{m}}}}{{1{,}0\,{\rm{m}}}} = 1{,}5 \cdot {10^6}\]
h)Die obige Aussage bezieht sich nur auf statische Magnetfelder; da die LORENTZ-Kraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Teilchen ist, findet keine Beschleunigung statt.
Magnetische Wechselfelder, wie sie im Betatron zur Anwendung kommen, erzeugen dagegen elektrische Wirbelfelder, die zur Beschleunigung und damit zur Energieerhöhung der Teilchen führen.
