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Aufgabe

LENARD-Versuch (Abitur BY 2004 LK A3-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

1888 bestrahlte Wilhelm HALLWACHS eine geladene, auf einem Elektroskop sitzende Metallplatte mit UV-Licht.

a)Erläutern Sie, aus welchen Beobachtungen HALLWACHS folgern konnte, dass bei Lichteinstrahlung nur negative Ladungsträger aus Metallen austreten. (3 BE)

Bei der skizzierten Vakuumphotozelle zeigt das extrem hochohmige Voltmeter nach dem Einschalten der Beleuchtung die im Diagramm dargestellte zeitabhängige Spannung.

b)Erklären Sie, wie der dargestellte Spannungsverlauf zustande kommt. (6 BE)

c)Geben Sie an, wie sich \(U_0\) und die Anfangssteigung der \(t\)-\(U\)-Kurve verändern, wenn man im Versuch bei gleich bleibender Wellenlänge die Intensität der Bestrahlung erhöht.

Begründen Sie kurz Ihre Antwort. (4 BE)

d)Berechnen Sie \(U_0\) für eine Kupferplatte, die mit monochromatischem UV-Licht der Wellenlänge \(\lambda  = 40,0nm\) bestrahlt wird. [zur Kontrolle: \({U_0} = 26,2{\rm{V}}\)] (4 BE)

 

Zur Untersuchung der beim Photoeffekt freigesetzten Elektronen kann man die nebenstehend skizzierte Lenard-Röhre verwenden. Dabei legt man zwischen die mit UV-Licht bestrahlte Kathode K und die mit einer Lochblende versehene Anode A eine variable Spannung \(U < 1{\rm{kV}}\). Nach einer weiteren Blende Bl1 gelangen die Elektronen in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \(B\) senkrecht zur Zeichenebene. Nur die Elektronen, deren Kreisbahn durch die eingezeichneten Blenden führt, gelangen in einen Metallbecher, der über ein empfindliches Strommessgerät geerdet ist.

e)Zeigen Sie, dass nur solche Elektronen in den Metallbecher gelangen, die beim Eintritt in das Magnetfeld die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}{\rm{,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{m_e}}} \cdot {r^2} \cdot {B^2}\) besitzen. (5 BE)

Wie in Teilaufgabe d) sei die Kathode K aus Kupfer und werde mit monochromatischem UV-Licht der Wellenlänge \(\lambda  = 40,0nm\) bestrahlt. Der durch die Versuchsanordnung festgelegte Bahnradius \(r\) beträgt \(250{\rm{mm}}\), die Flussdichte \(135{\rm{\mu T}}\).

f)Berechnen Sie, zwischen welchen Grenzen \({U_{\min }}\) und \({U_{\max }}\) die Spannung \(U\) liegen muss, damit das Strommessgerät einen von Null verschiedenen Wert anzeigt.

Erläutern Sie, wie sich der Wert von \({U_{\min }}\) bzw. \({U_{\max }}\) ändert, wenn die Kathode mit Licht kürzerer Wellenlänge bestrahlt wird. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Bei positiver Aufladung der Metallplatte blieb der Ausschlag des Elektroskops sehr lange unverändert bestehen, bei negativer Aufladung fand dagegen eine rasche Entladung statt, die auf Grund der abstoßenden Kräfte zwischen gleichnamigen Ladungen verständlich ist. Bei positiver Aufladung der Platte konnten sich die Photoelektronen aufgrund der anziehenden elektrischen Kräfte nicht ablösen.

b)Ein Teil der aus der Metallplatte ausgelösten Photoelektronen gelangt zur Ringelektrode. Diese wird negativ geladen, die Metallplatte positiv, da der hohe Innenwiderstand des Voltmeters den Ladungsausgleich zwischen Metallplatte und Ringelektrode behindert. Je mehr Elektronen die Ringelektrode erreichen, desto größer wird die Spannung \(U\) zwischen Metallplatte und Ringelektrode. Mit zunehmendem \(U\) erreichen immer weniger Photoelektronen die Ringelektrode, wodurch \(U\) langsamer ansteigt und schließlich einen Maximalwert \(U_0\) erreicht, bei dem die schnellsten Photoelektronen die Ringelektrode gerade nicht mehr erreichen.

c)\(U_0\) bleibt bei Erhöhung der Bestrahlungsintensität gleich, weil die maximale kinetische Energie der Photoelektronen allein durch die Wellenlänge des eingestrahlten Lichts bestimmt ist. Bei wachsender Bestrahlungsintensität werden pro Zeiteinheit mehr Photoelektronen emittiert, \(U\) steigt also schneller an.

d)Aus der EINSTEIN-Formel\[h \cdot f = {W_{{\rm{A,Cu}}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\]ergibt sich mit \({E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot U_0\) und \(f = \frac{c}{\lambda }\)\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {W_{{\rm{A}}{\rm{,Cu}}}} + e \cdot {U_0} \Leftrightarrow {U_0} = \frac{{\frac{{h \cdot c}}{\lambda } - {W_{{\rm{A}}{\rm{,Cu}}}}}}{e}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{U_0} = \frac{{\frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{40,0 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} - 4,84{\rm{V}} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 26,2{\rm{V}}\]

e)Die Lorentzkraft wirkt hier als Zentripetalkraft, d.h. es gilt\[{F_{\rm{Z}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_e} \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Rightarrow v = \frac{{e \cdot B \cdot r}}{{{m_e}}}\quad(1)\]Für die kinetische Energie der Elektronen bei A gilt\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v^2}\quad(2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so ergibt sich\[{E_{{\rm{kin}},{\rm{A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {\left( {\frac{{e \cdot B \cdot r}}{{{m_e}}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {e \cdot B \cdot r} \right)}^2}}}{{{m_e}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{e^2}}}{{{m_e}}} \cdot {r^2} \cdot {B^2}\quad(3)\]

f)Einsetzen der gegebenen Werte in \((3)\) ergibt\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 135 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{T}} \cdot 250 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 1,60 \cdot {10^{ - 17}}{\rm{J}} = 100{\rm{eV}}\]Elektronen, die mit vernachlässigbarer kinetischer Energie aus der Kathode gelangen, müssen mit der Spannung \(100{\rm{V}}\) beschleunigt werden. Elektronen, die mit ca.\(26{\rm{eV}}\) (vgl. Teilaufgabe a)) aus der Kathode kommen, müssen nur noch mit ca. \(74{\rm{V}}\) beschleunigt werden, um die Sollbahn zu erreichen. Die minimale Spannung ist also \({U_{{\rm{min}}}} = 74{\rm{V}}\), die maximale Spannung \({U_{{\rm{ax}}}} = 100{\rm{V}}\).

Bei kürzerer Wellenlänge des eingestrahlten Lichts ist die maximale kinetische Energie der ausgelösten Photoelektronen größer als \(26,2{\rm{eV}}\), somit kann die minimale Spannung unter \(74{\rm{V}}\) liegen. Die maximale Spannung ändert sich dadurch nicht, da auch bei kürzerer Wellenlänge einige Elektronen mit vernachlässigbarer Energie auftreten.