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Aufgabe

Ablenkung von Photonen durch die Sonne

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ablenkung von Photonen durch die Sonne

Nach der bekannten Energie-Masse-Beziehung \(E = m \cdot {c^2}\) von Albert EINSTEIN kann man dem Photon der Energie \(E = h \cdot f\) eine Masse \({m_{{\rm{Ph}}}}\) zuordnen. Es gilt\[E = {m_{{\rm{Ph}}}} \cdot {c^2} \Leftrightarrow \,h \cdot f = {m_{{\rm{Ph}}}} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {m_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{h \cdot f}}{{{c^2}}}\]Wenn Photonen aber eine Masse haben, so müssen sie auch durch Gravitationsfelder beeinflussbar sein. Insbesondere bei der Passage am Sonnenrand sollte eine Ablenkung des Lichtes eventuell beobachtbar sein.

In dieser Aufgabe soll die Strahlablenkung mit Hilfe der klassischen Mechanik von Isaac NEWTON berechnet werden. Wir machen dazu die folgenden Vereinfachungen:

Die Photonen erfahren eine konstante Schwerebeschleunigung, welche den Wert der Schwerebeschleunigung auf der Sonnenoberfläche haben soll.

Diese konstante Schwerebeschleunigung sei auf einer Strecke von \(2 \cdot {r_{\rm{S}}}\), also entlang des Sonnendurchmessers, wirksam.

Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich also - wie in der Abbildung dargestellt ist -  im Bereich der Sonnenanziehung eine "Wurfparabel".

a)Berechnen Sie die Schwerebeschleunigung \({g_{\rm{S}}}\) auf der Sonnenoberfläche.

b)Stellen Sie die Gleichung der Bahnkurve der "Wurfparabel" auf.

c)Bestimmen Sie die Weite \(\delta \) des Winkels, um den der Strahl aus der ursprünglichen Richtung abgelenkt wird.

Hinweis: Der in Teilaufgabe c) berechnete Ablenkwinkel \(\delta \) wurde durch stark vereinfachende Annahmen gewonnen. Eine exakte Rechnung liefert glücklicherweise den gleichen Wert von ca. \({\delta _{\rm{N}}} = 0,87''\) (Winkelsekunden). Die allgemeine Relativitätstheorie von EINSTEIN besagt, dass der nach NEWTON berechnete Ablenkwinkel zu verdoppeln ist, um den tatsächlichen Ablenkwinkel zu erhalten, d.h. es ergibt sich dann \({\delta _{\rm{E}}} = 2 \cdot {\delta _{\rm{N}}} \Rightarrow {\delta _{\rm{E}}} = 2 \cdot 0,87'' = 1,75''\). Dieser Wert konnte inzwischen sehr gut experimentell bestätigt werden. Lesen Sie dazu die Seite über die Photonenmasse.

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a)Für die Gravitationskraft der Sonne mit der Masse \({m_{\rm{S}}} = 1,98 \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\) auf ein Teilchen der Masse \(m\), das sich im Abstand des Sonnenradius \({r_{\rm{S}}} = {\rm{ }}6,98 \cdot {10^8}{\rm{m}}\) vom Mittelpunkt der Sonne befindet, gilt nach dem Gravitationsgesetz von NEWTON\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}}\quad(1)\]Gleichzeitig gilt nach dem 2. Axiom von NEWTON\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot {g_{\rm{S}}} \Leftrightarrow {g_{\rm{S}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{m}\quad(2)\]Einsetzen von \((1)\) in \((2)\) und der gegebenen Werte ergibt\[{g_{\rm{S}}} = \frac{{G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}}}}{m} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}} \Rightarrow {g_{\rm{S}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot \frac{{1,98 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6,98 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 271\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

b)\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x = c \cdot t}\\{y = \frac{1}{2} \cdot {g_{\rm{S}}} \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y(x) = \frac{{{g_{\rm{S}}}}}{{2{c^2}}} \cdot {x^2}\]

c)Die Tangentensteigung für \(x = 2 \cdot {r_{\rm{S}}}\) ergibt sich durch\[y'(x) = \frac{{{g_{\rm{S}}}}}{{{c^2}}} \cdot x \Rightarrow y'(2 \cdot {r_{\rm{S}}}) = \frac{{{g_{\rm{S}}}}}{{{c^2}}} \cdot 2 \cdot {r_{\rm{S}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[y'(x) = \frac{{{g_{\rm{S}}}}}{{{c^2}}} \cdot x \Rightarrow y'(2 \cdot {r_{\rm{S}}}) = \frac{{{g_{\rm{S}}}}}{{{c^2}}} \cdot 2 \cdot {r_{\rm{S}}} \Rightarrow y'(2 \cdot {r_{\rm{S}}}) = \frac{{271\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{{{\left( {3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} \cdot 2 \cdot 6,98 \cdot {10^8}{\rm{m}} = 4,20 \cdot {10^{ - 6}}\]Diese Tangentensteigung ist gleich dem Tangens des Winkels \(\delta \)\[\tan \left( \delta  \right) = 4,20 \cdot {10^{ - 6}} \Rightarrow \delta  = \left( {2,41 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)^\circ  = 0,87''\]