Quantenobjekt Photon

Mit \(\lambda = 1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\), \(m_0 = m_{\rm{0,e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) und \(\vartheta = 90^\circ\) nutzen wir die Formel zur Wellenlängenänderung beim COMPTON-Effekt\[\lambda' = \lambda + \frac{h}{m_0 \cdot c} \cdot \left( 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda ' = 1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m} + \frac{{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}}}}{{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,{\rm{kg}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {90^\circ } \right)} \right) = 1{,}02 \cdot 10^{-10}\, {\rm{m}}\]

Mit\[E_{\rm{Ph}}=h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda} = \frac{h \cdot c}{\lambda}\]erhalten wir für \(\lambda = 1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\)\[E_{\rm{Ph}}=\frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}} = 1{,}99 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}\]und für \(\lambda' = 1{,}02 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}\)\[E'_{\rm{Ph}}=\frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{1{,}02 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}} = 1{,}95 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}\]Die kinetische Energie \(E_{\rm{kin}}\) der Elektronen nach dem Streuprozess ist genau die Energiedifferenz \(E_{\rm{Ph}}-E'_{\rm{Ph}}\) von einfallenden und gestreuten Quanten. Damit ergibt sich\[E_{\rm{kin}}=1{,}99 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}-1{,}95 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}=4 \cdot 10^{-17}\,\rm{J}\]

\[E_{\rm{kin,e}} = E_{\rm{Ph}} - {E'}_{\rm{Ph}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } - \frac{{h \cdot c}}{{\lambda '}} = h \cdot c \cdot \left( {\frac{1}{\lambda } - \frac{1}{{\lambda '}}} \right) = h \cdot c \cdot \left( {\frac{{\lambda '}}{{\lambda  \cdot \lambda '}} - \frac{\lambda }{{\lambda ' \cdot \lambda }}} \right) = h \cdot c \cdot \frac{{\lambda ' - \lambda }}{{\lambda  \cdot \lambda '}}\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert\[{E_{{\rm{kin,e}}}} = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \frac{{1{,}02 \cdot 10^{-10}\,\rm{m} - 1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}}}{{1{,}00 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}  \cdot 1{,}02 \cdot 10^{-10}\,\rm{m}}}=3{,}90 \cdot 10^{-17}\,\rm{J}\]Die Ergebnisse stimmen praktisch überein, dieser Weg führt aber zu einer um zwei gültige Ziffern größeren Genauigkeit.

Der prozentuale Energieverlust berechnet sich zu\[p\%=\frac{E_{\rm{kin,e}}}{E_{\rm{Ph}}}=\frac{3{,}90 \cdot 10^{-17}\,\rm{J}}{1{,}99 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}}=0{,}0196=1{,}96\%\]

Für zehnmal energiereichere Quanten mit \(E_{\rm{Ph}}= 1{,}99 \cdot 10^{-14}\,\rm{J}\) ergibt sich wegen\[E_{\rm{Ph}}=\frac{h \cdot c}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda = \frac{h \cdot c}{E_{\rm{Ph}}}\]eine zehnmal kleinere Wellenlänge \(\lambda = 1{,}00 \cdot 10^{-11}\,\rm{m}\).

Analog zu Aufgabenteil a) erhalten wir\[\lambda ' = 1{,}00 \cdot 10^{-11}\,\rm{m} + \frac{{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}}}}{{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,{\rm{kg}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {90^\circ } \right)} \right) = 1{,}24 \cdot 10^{-11}\, {\rm{m}}\]Analog zu Aufgabenteil c) erhalten wir\[{E_{{\rm{kin,e}}}} = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \frac{{1{,}24 \cdot 10^{-11}\,\rm{m} - 1{,}00 \cdot 10^{-11}\,\rm{m}}}{{1{,}00 \cdot 10^{-11}\,\rm{m}  \cdot 1{,}24 \cdot 10^{-11}\,\rm{m}}}=3{,}85 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}\]Analog zu Aufgabenteil d) erhalten wir\[p\%=\frac{E_{\rm{kin,e}}}{E_{\rm{Ph}}}=\frac{3{,}85 \cdot 10^{-15}\,\rm{J}}{1{,}99 \cdot 10^{-14}\,\rm{J}}=0{,}193=19{,}3\%\]