Quantenobjekt Photon

Mit \(E_{\gamma}=662\,\rm{keV}=662 \cdot 10^3 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{J}=1{,}06 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}\) erhalten wir mit der Formel für die Energie eines Photons\[E_{\rm{Ph}}=h \cdot f \Leftrightarrow f=\frac{E_{\rm{Ph}}}{h}\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[f=\frac{1{,}06 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s}}=1{,}60 \cdot 10^{20}\,\rm{Hz}\]Mit \(f=1{,}60 \cdot 10^{20}\,\rm{Hz}\) nutzen wir die Formel für die Wellenlänge\[\lambda = \frac{c}{f}\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = \frac{3{,}00 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{1{,}60 \cdot 10^{20}\,\rm{Hz}}=1{,}88 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\]

Mit \(\lambda = 1{,}88 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\), \(m_0 = m_{\rm{0,e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) und \(\vartheta = 90^\circ\) nutzen wir die Formel zur Wellenlängenänderung beim COMPTON-Effekt\[\lambda' = \lambda + \frac{h}{m_0 \cdot c} \cdot \left( 1 - \cos \left( \vartheta \right) \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda ' = 1{,}88 \cdot 10^{-12}\,\rm{m} + \frac{{6{,}63 \cdot 10^{-34}\,{\rm{J\,s}}}}{{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,{\rm{kg}} \cdot 3{,}00 \cdot {10}^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} \cdot \left( {1 - \cos \left( {90^\circ } \right)} \right) = 4{,}31 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\]Mit \(\lambda'=4{,}31 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}\) erhalten wir mit der Formel für die Wellenlänge\[\lambda = \frac{c}{f'} \Leftrightarrow f'=\frac{c}{\lambda'}\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[f' = \frac{3{,}00 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{4{,}31 \cdot 10^{-12}\,\rm{m}}=6{,}96 \cdot 10^{19} \,\rm{Hz}\]

Mit \(f'=6{,}96 \cdot 10^{19} \,\rm{Hz}\) nutzen wir die Formel für die Energie eines Photons\[E_{\rm{Ph}}=h \cdot f\]Einsetzen der gegebenen Größen liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[E'_{\gamma}=6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\rm{J\,s} \cdot 6{,}96 \cdot 10^{19} \,\rm{Hz} =4{,}61 \cdot 10^{-14}\,\rm{J} = \frac{4{,}61 \cdot 10^{-14}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\rm{eV}=2{,}88 \cdot 10^5\,\rm{eV}=288\,\rm{keV}\]

Mit \(E_\gamma = 662\,\rm{keV}\) und \(E'_\gamma = 288\,\rm{keV}\) erhalten wir mit dem Energieerhaltungssatz\[E_\gamma = E'_\gamma + E'_{\rm{kin,e}} \Leftrightarrow E'_{\rm{kin,e}} = E_\gamma - E'_\gamma\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[E'_{\rm{kin,e}}=662\,\rm{keV} - 288\,\rm{keV} = 374\,\rm{keV}\]Mit \(E'_{\rm{kin,e}}=374\,\rm{keV} = 374 \cdot 10^3 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{J}=5{,}98 \cdot 10^{-14}\,\rm{J}\) und \(m = m_{\rm{0,e}}=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die kinetische Energie\[E_{\rm{kin}}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \Rightarrow v=\sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm{kin}}}{m}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_{\rm{k}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 5{,}98 \cdot 10^{-14}\,\rm{J}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}}}=3{,}62 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} > c\]

Mit \(E_{\rm{0,e}}=511\,\rm{keV}\) und \(E'_{\rm{kin,e}}=374\,\rm{keV}\) erhalten wir als Gesamtenergie des Elektrons nach dem Streuprozess\[E'_{\rm{ges,e}}=E_{\rm{0,e}}+E'_{\rm{kin,e}}=511\,\rm{keV}+374\,\rm{keV}=885\,\rm{keV}= 885 \cdot 10^3 \cdot 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{J}=1{,}42 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}\]Mit \(E'_{\rm{ges,e}}=1{,}42 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}\) und \(m_0=9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\) erhalten wir mit der Formel für die relativistische Gesamtenergie\[{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot {c^2} \Rightarrow v = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{{\rm{ges}}}}}}} \right)}^2}} \cdot c\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot {\left(3{,}00 \cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}}}{1{,}42 \cdot 10^{-13}\,\rm{J}}} \right)}^2}} \cdot c = 0{,}816 \cdot c\]