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Aufgabe

Photonendichte

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Parallelbündel grünen Lichts mit der Wellenlänge \(550{\rm{nm}}\) enthält in einem Kubikzentimeter \(2,0 \cdot {10^{12}}\) Photonen.

a)Berechnen Sie die Energie \({E_{{\rm{Ph}}}}\) eines Photons und die mittlere Energiedichte \({\rho _{\rm{E}}}\) in diesem Lichtbündel in der Maßeinheit \(\frac{\rm{J}}{\rm{cm^3}}\).

b)Berechnen Sie, wie groß die Lichtenergie ist, die in einer Sekunde auf eine Fläche von \(1,0\rm{cm^2}\), die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Bündels steht, trifft.

c)Berechnen Sie, wie viele Photonen pro \(\rm{cm^3}\) ein Bündel violetten Lichts mit der Wellenlänge \(450{\rm{nm}}\) enthalten muss, damit die Strahlungsleistung gleich ist wie im Fall von Teilaufgabe b).

d)Auf eine Photokathode mit \(W_{\rm{A}} = 2,5{\rm{eV}}\) trifft das Lichtbündel von Teilaufgabe a) und b) bzw. von Teilaufgabe c).

Untersuchen Sie, in welchem Fall Elektronen ausgelöst werden.

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a)Die Energie eines Photons berechnet sich durch\[{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } \Rightarrow {E_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{550 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 3,62 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}}\]Die gesuchte Energiedichte \(\rho _{\rm{E}}\) ist nun der Quotient aus der Energie aller Photonen in dem Volumen von einem Kubikzentimeter und diesem Volumen selbst. Es gilt also\[{\rho _{\rm{E}}} = \frac{{{E_{{\rm{Ph}},{\rm{ges}}}}}}{V} = \frac{{N \cdot {E_{{\rm{Ph}}}}}}{V} \Rightarrow {\rho _{\rm{E}}} = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{12}} \cdot 3,62 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}}{{1{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 7,2 \cdot {10^{ - 7}}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

b)In der Zeit \(\Delta t = 1,0{\rm{s}}\) treffen nur diejenigen Photonen auf die Fläche mit \(A = 1,0{\rm{cm^2}}\), deren Entfernung von dieser Fläche höchstens \(c \cdot \Delta t\) ist. Alle Photonen, die zur gefragten Lichtenergie beitragen, befinden sich also in einem Quader (dem sogenannter "Stoßquader") mit der Seitenfläche \(A\) und der Länge \(c \cdot \Delta t\). Das Volumen \(V\) dieses Quaders ist\[V = c \cdot \Delta t \cdot A\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[V = {\rm{3,0}} \cdot 10^{10}\frac{{{\rm{cm}}}}{{\rm{s}}} \cdot1,0\rm{0s} \cdot 1,0{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}} = 3,0 \cdot {10^{10}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]Nun gilt wie oben bereits genutzt\[{\rho _{\rm{E}}} = \frac{{{E_{{\rm{Licht}}}}}}{V} \Leftrightarrow {E_{{\rm{Licht}}}} = {\rho _{\rm{E}}} \cdot V\]und durch Einsetzen der gegebenen Werte\[{E_{{\rm{Licht}}}} = 7,2 \cdot {10^{ - 7}}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot 3,0 \cdot {10^{10}}{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = 2,2 \cdot {10^4}{\rm{J}}\]

c)Alle Symbole mit hochgestelltem Stern stehen nun für die Größen des violetten Lichts. Als Bezugsvolumen nehmen wir das Volumen \(V\) des Quaders aus Aufgabenteil b). Gefordert ist\[{E_{{\rm{Licht}}}} = E_{{\rm{Licht}}}^*\]und mit der oben bereits genutzten Beziehung \({\rho _{\rm{E}}} = \frac{{{E_{{\rm{Licht}}}}}}{V} \Leftrightarrow {E_{{\rm{Licht}}}} = {\rho _{\rm{E}}} \cdot V\) ergibt sich\[{\rho _{\rm{E}}} \cdot V = \rho _{\rm{E}}^* \cdot V \Leftrightarrow \frac{{N \cdot {E_{{\rm{Ph}}}}}}{V} \cdot V = \frac{{{N^*} \cdot E_{{\rm{Ph}}}^*}}{V} \cdot V \Leftrightarrow N \cdot {E_{{\rm{Ph}}}} = {N^*} \cdot E_{{\rm{Ph}}}^*\]und weiter\[{N^*} = \frac{{N \cdot {E_{{\rm{Ph}}}}}}{{E_{{\rm{Ph}}}^*}}\]Somit müssen wir die Energie eines Photons des violetten Lichts berechnen\[{E_{{\rm{Ph}}}^*} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{450 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 4,42 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}}\]und dies einsetzen\[{N^*} = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{12}} \cdot 3,62 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}}{{4,42 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}} = 1,6 \cdot {10^{12}}\]

d)Berechnung der Photonenenergien in \(\rm{eV}\):\[{E_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{3,62 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} = 2,26{\rm{eV}} < {W_{\rm{A}}}\]Bei Bestrahlung mit grünem Licht ist also kein Photoeffekt möglich, es treten keine Elektronen aus dem Metall aus.\[E_{{\rm{Ph}}}^* = \frac{{4,42 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} = 2,76{\rm{eV}} > {W_{\rm{A}}}\]Bei Bestrahlung mit violettem Licht ist also der Photoeffekt möglich, es treten Elektronen aus dem Metall aus.