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Aufgabe

Baderutsche

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Kind rutscht im Schwimmbad eine Rutsche hinunter. Es verlässt sie horizontal und trifft \(1{,}5\,\rm{m}\) tiefer in \(2{,}0\,\rm{m}\) horizontaler Entfernung auf das Wasser.

Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der das Kind die Rutsche verlässt.

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Die Bewegung in y-Richtung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Beschleunigung \(g\), bei der eine Strecke von \({1,5m}\) zurückgelegt wird. Die dafür benötigte Zeit \(t\) berechnet man durch
\[y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot y}}{g}}  \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1{,}5\,\rm{m}}}{{9{,}81\,\frac{m}{{{s^2}}}}}}  = 0{,}55\,\rm{s}\]
In dieser Zeit \(t\) ist in x-Richtung bei einer gleichförmigen Bewegung die Strecke \(2{,}0m\) zurückgelegt worden. Die Geschwindigkeit \({{v_x}}\) dieser gleichförmigen Bewegung berechnet man mit
\[x = {v_x} \cdot t \Leftrightarrow {v_x} = \frac{x}{t} \Rightarrow {v_x} = \frac{{2{,}0\rm{m}}}{{0{,}55\,\rm{s}}} = 3{,}6\,\rm{\frac{m}{s}} = 13\,\rm{\frac{{km}}{h}}\]

Wer algebraisch gut unterwegs ist, kann die genutzten Terme so weit ineinander einsetzen, dass sich das Ergebnis zum Schluss in einem Schritt ausrechnen lässt:
\[\begin{array}{l}\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {v_x} \cdot t}\\{y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = \frac{g}{{2{v_x}^2}} \cdot {x^2} \Rightarrow {v_x}^2 = \frac{g}{2} \cdot \frac{{{x^2}}}{y} \Rightarrow {v_x} = \sqrt {\frac{g}{{2y}}} \cdot x\\ \Rightarrow {v_x} = \sqrt {\frac{{9{,}81\,\rm{\frac{m}{{{s^2}}}}}}{{2 \cdot 1{,}5\,\rm{m}}}} \cdot 2{,}0\,\rm{m} = 3{,}6\,\rm{\frac{m}{s}} = 13\,\rm{\frac{{km}}{h}}\end{array}\]