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Aufgabe

Gärtnerprobleme

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Aus einem Gartenschlauch tritt das Wasser mit einer Geschwindigkeit von \(8{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\) aus.

a)Berechne, wie hoch der Gärtner den Schlauch mindestens waagrecht halten muss, wenn er ein \(6{,}0\,\rm{m}\) entferntes Beet wässern möchte.

b)Berechne, mit welcher Geschwindigkeit und unter welchem Winkel für diese Höhe die Wassertropfen auf dem Beet eintreffen.

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a)Es ist \({v_x} = 8{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\) und \({x_0} = 6{,}0\,\rm{m}\)\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = {v_x} \cdot {t_0}}\\{{y_0} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_0}^2}\end{array}} \right\} \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}} \right)^2} \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {\frac{{{6{,}0\,\rm{m}}}}{{{8{,}0}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)^{\rm{2}}} = 2{,}8\,{\rm{m}}\]

b)Die Geschwindigkeit ergibt sich aus \[\begin{array}{*{20}{l}}{\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2} }\\{\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_y} = g \cdot {t_0}}\\{{t_0} = \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}\end{array}} \right\}{v_y} = g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow v = \sqrt {{v_x}^2 + {{\left( {g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}} \right)}^2}} }\\{ \Rightarrow v = \sqrt {{{\left( {8,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + {{\left( {9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{6,0{\rm{m}}}}{{8,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)}^2}}  = 11\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\end{array}\] Den Auftreffwinkel kannst du berechnen mit \[\begin{array}{*{20}{l}}{\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan (\alpha ) = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}}}\\{{v_y} = g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \tan (\alpha ) = \frac{{g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}}{{{v_x}}} = \frac{{g \cdot {x_0}}}{{{v_x}^2}}}\\{ \Rightarrow \tan (\alpha ) = \frac{{9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 6,0{\rm{m}}}}{{{{\left( {8,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 0,92 \Rightarrow \alpha  = {{43}^\circ }}\end{array}\]