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Aufgabe

Gärtnerprobleme

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Ein Gärtner hält einen Wasserschlauch waagerecht und möchte ein \(6{,}0\,\rm{m}\) entferntes Beet wässern (Abb. 1). Das Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von \(8{,}0\,\rm{\frac{m}{s}}\) aus dem Schlauch aus.

a)

Berechne, wie hoch der Gärtner den Schlauch mindestens halten muss, damit das Wasser bis zum Beet gelangt.

b)

Berechne, mit welcher Geschwindigkeit die Wassertropfen auf das Beet treffen.

Berechne, unter welchem Winkel die Wassertropfen auf das Beet treffen.

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a)

Die Beschreibung der Bahn des Strahls kann nach \(x\)- und \(y\)-Richtung getrennt erfolgen (Superpositionsprinzip von Bewegungen). In \(x\)-Richtung bleibt die Geschwindigkeit konstant. Es handelt sich also um eine gleichförmige Bewegung, für die gilt\[{x_0}={v_x}\cdot{t_0}\Leftrightarrow t_0=\frac{x_0}{v_x}\]In \(y\)-Richtung wirkt permament die Erdbeschleunigung. Es handelt sich also um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, für die gilt\[{y_0} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_0}^2\]Um das gesuchte \(y_0\) berechnen zu können, setzt du denAusdruck für \({t_0}\) aus der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ein:\[{y_0} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}} \right)^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{y_0} = \frac{1}{2} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {\frac{{{6{,}0\,\rm{m}}}}{{{8{,}0}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right)^{\rm{2}}} = 2{,}8\,{\rm{m}}\]

 

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Vektordiagramm der Geschwindigkeiten im Auftreffpunkt.

Um die Gesamtgeschwindigkeit und den Auftreffwinkel des Strahls zu berechnen, zeichnest du am besten das Vektordiagramm der Einzelgeschwindigkeiten wie in Abb. 2 gezeigt. Da der Strahl gekrümmt ist, musst du zum Einzeichnen des WInkels die Tangente am Auftreffpunkt benutzen.

Die Gesamtgeschwindigkeit ergibt sich aus den Einzelgeschwindigkeiten durch den Satz des PYTHAGORAS:\[v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2}\]\({v_x}\) ist gegeben. Für \({v_y}\)gilt\[\begin{array}{*{20}{l}}{ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_y} = g \cdot {t_0}}\\{{t_0} = \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}\end{array}} \right\}{v_y} = g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}}\end{array}\]Damit ergibt sich für \(v\)\[v = \sqrt {{v_x}^2 + {\left( {g \cdot \frac{{x_0}}{{v_x}}} \right)}^2} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt{\left(8{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\right)^2+\left(9{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}^2}\cdot\frac{6{,}0\,{\rm{m}}}{8{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\right)^2}= 11\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Den Auftreffwinkel kannst du über das Dreieck berechnen, das durch die Geschwindigkeitsvektoren und den Winkel \({\alpha}\) gegeben ist:\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\tan (\alpha ) = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}}}\\{{v_y} = g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \tan (\alpha ) = \frac{{g \cdot \frac{{{x_0}}}{{{v_x}}}}}{{{v_x}}} = \frac{{g \cdot {x_0}}}{{{v_x}^2}}} \end{array}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\tan (\alpha ) = \frac{{9{,}8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 6{,}0\,\rm{m}}}{{{{\left( {8{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}= 0{,}92 \Rightarrow \alpha =43^\circ\]

 

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf