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Grundwissen

Waagerechter Wurf

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Nach dem Superpositionsprinzip beeinflussen sich die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung gegenseitig nicht, falls Reibungseffekte vernachlässigt werden.
  • In \(x\)-Richtung bewegt sich der Körper gleichförmig mit \(x(t)=v_0 \cdot t\).
  • In \(y\)-Richtung bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt wie beim freien Fall mit \(y(t)=-\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + h\).
  • Die Bahnkurve \(y(x)\) ist eine Parabel mit \(y(x)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{g}{{v_0}^2}\cdot x^2+h\).
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Abb. 1 Stroboskopaufnahme eines waagerechten Wurfs und die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung

In der Animation in Abb. 1 bewegt sich eine Kugel zuerst gleichförmig mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) auf einer Rampe in der Anfangshöhe \(h\) über dem Erdboden. Der sogenannte waagerechte (horizontale) Wurf beginnt in dem Augenblick, in dem die Kugel die Rampe verlässt.  In diesem Augenblick startet eine Stoppuhr. Ein Stroboskop beleuchtet dabei die Anordnung im Sekundentakt und markiert so die jeweilige Position der Kugel.

Die Uhr stoppt, wenn die Kugel auf dem Boden auftrifft. Die gemessene Zeitspanne bezeichnet man als Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\). Die horizontale Entfernung des Aufschlagpunktes der Kugel von der Rampe stellt die Wurfweite \(w\) dar.

Superpositionsprinzip

Alle Experimente zum waagerechten Wurf bestätigen das sogenannte Superpositionsprinzip (manchmal auch als Unabhängigkeitsprinzip bezeichnet). Dieses Prinzip besagt, dass sich die Gesamtbewegung der Kugel durch die Überlagerung (Superposition) der horizontalen und der vertikalen Bewegungen ergibt, ohne dass sich die beiden Bewegungen gegenseitig beeinflussen.1 Das bedeutet konkret:

  • Die horizontale Bewegung in \(x\)-Richtung wird nicht durch die vertikale Bewegung in \(y\)-Richtung beeinflusst. Der Körper bewegt sich in \(x\)-Richtung gleichförmig weiter.
  • Die vertikale Bewegung in \(y\)-Richtung wird nicht durch die horizontale Bewegung in \(x\)-Richtung beeinflusst. Der Körper bewegt sich in \(y\)-Richtung gleichmäßig beschleunigt genau wie bei einem Freien Fall.

1 Dies gilt allerdings nur, wenn Reibungskräfte wie z.B. der Luftwiderstand vernachlässigt werden.

Der waagerechte Wurf kann somit beschrieben werden durch

  • eine horizontale gleichförmige Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_{0}\) und
  • eine vertikale gleichförmig beschleunigte Bewegung wie beim Freien Fall aus der Anfangshöhe \(h\).
Bewegungsgesetze des waagerechten Wurfs
  Zeit-Ort-Gesetz Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz
\(x\)-Richtung: gleichförmige Bewegung

\[x(t) = v_0\cdot t \quad (1)\]

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Abb. 2

\[v_x(t) = v_0 \quad(3)\]

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Abb. 4
\(y\)-Richtung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall)

\[y(t) = - {\textstyle{1 \over 2}} \cdot g \cdot {t^2}+h \quad (2)\]

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Abb. 3

\[v_y(t) = \frac{\;}{\;}\,g \cdot t^{\;} \quad(4)\]

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Abb. 5

 

Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \(x(t)\), \(y(t)\), \(v_x(t)\) und \(v_y(t)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinaten \(x\) und \(y\) und die Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\) und \(v_y\) des Körpers bestimmen.

Gleichung der Bahnkurve

Mit Hilfe der Gleichung der Bahnkurve \(y(x)\) lässt sich zu jeder \(x\)-Koordinate des Körpers die zugehörige \(y\)-Koordinate bestimmen. Die Gleichung der Bahnkurve erhält man durch Elimination der Zeit aus den Bewegungsgleichungen. Aus Gleicung \((1)\) folgt nämlich \(t = \frac{x}{v_0}\). Setzt man dies in Gleichung \((2)\) ein, so ergibt sich\[y(x) = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{v_0}} \right)^2} + h  = - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{v_0}^2} \cdot {x^2} +h \quad (5)\]Die Bahn des horizontalen Wurfes hat also Parbelform, weshalb man sie auch als Wurfparabel bezeichnet.

Wurfzeit und Wurfweite

Als Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bezeichnet man die Zeit, die der Körper vom Abwurf aus der Anfangshöhe \(h\) bis zum Auftreffen auf dem Boden mit \(y=0\) benötigt. Die Wurfzeit berechnet sich aus der Anfangshöhe \(h\) nach Gleichung \((2)\) durch\[{t_{\rm{W}}} = \sqrt {\frac{2 \cdot h}{g}} \quad (6)\]

Als Wurfweite \(w\) bezeichnet man die \(x\)-Koordinate des Körpers beim Auftreffen auf den Boden. Die Wurfweite berechnet sich aus der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) nach Gleichung \((1)\) durch\[w = v_0 \cdot \sqrt {\frac{2 \cdot h}{g} } \quad (7)\]

Aufgabe

In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=125\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

Berechne aus diesen Angaben die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) sowie die Wurfweite \(w\).

Bestimme außerdem die Bahngleichung \(y(x)\).

Lösung

Die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) berechnet sich nach Gleichung \((6)\). Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 125\,\rm{m}}{10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}}=5{,}0\,\rm{s}\]Die Wurfweite \(w\) berechnet sich nach Gleichung \((7)\). Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[w = 20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 5{,}0\,\rm{s}=100\,\rm{m}\]Die Bahngleichung \(y(x)\) berechnet sich nach Gleichung \((5)\). Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[y(x) =  - \frac{1}{2} \cdot \frac{10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{{\left( {20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot x^2 + 125\,\rm{m} =  - 0{,}0125\,\frac{1}{\rm{m}} \cdot x^2 + 125\, \rm{m}\]

Bahngeschwindigkeit / Auftreffgeschwindigkeit
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Abb. 6 Skizze zur Bestimmung der Bahngeschwindigkeit \(v\) beim waagerechten Wurf

Als Bahngeschwindigkeit \(\vec v\) beim waagerechten Wurf bezeichnen wir die Geschwindigkeit des Körpers in Richtung der Bahnkurve.

Den Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit kann man aus den Geschwindigkeiten \(\vec v_x\) und \(\vec v_y\) berechnen. Aus Abb. 6 ergibt sich mit dem Satz des PYTHAGORAS ("Hypotenusenquadrat gleich Summe der Kathetenquadrate")\[v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2}\]und mit \(v_x=v_0\) und \(v_y=-g \cdot t\)\[v=\sqrt {{v_0}^2 + {\left( g\cdot t \right)}^2} \quad (8)\]

Als Auftreffgeschwindigkeit \(\vec v_{\rm{W}}\) bezeichnen wir die Bahngeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), also am Ende des Wurfs beim Auftreffen auf den Boden. Mit Gleichung \((4)\) und \(t_{\rm{W}}=\sqrt {\frac{2 \cdot h}{g}}\) erhalten wir\[v_{\rm{W}}=\sqrt {{v_0}^2 + 2 \cdot g \cdot h} \quad (8')\]

Neigungswinkel / Auftreffwinkel
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Abb. 7 Skizze zur Bestimmung der Weite \(\alpha\) des Neigungswinkels beim waagerechten Wurf

Als Neigungswinkel beim waagerechten Wurf bezeichnen wir den Winkel zwischen der Horizontalen und der Bahnkurve des Körpers. Ist die Weite \(\alpha\) des Neigungswinkels positiv, dann steigt die Flugbahn des Körpers, ist die Winkelweite negativ, dann fällt der Körper.

Die Winkelweite \(\alpha\) kann man aus den Geschwindigkeiten \(\vec v_x\) und \(\vec v_y\) berechnen. Aus Abb. 7 ergibt sich unter Anwendung des Tangenssatzes im rechtwinkligen Dreieck ("Tangens gleich Gegenkathete durch Hypotenuse")\[\tan\left( \alpha \right) = \frac {v_y}{v_x}\]und mit \(v_x=v_0\) und \(v_y=-g \cdot t\)\[\tan \left( \alpha \right) = \frac{-g \cdot t}{v_0} \quad (9)\]

Als Auftreffwinkel bezeichnen wir den Neigungswinkel des Körpers zum Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), also am Ende des Wurfs beim Auftreffen auf den Boden.

Mit Gleichung \((9)\) und \(t_{\rm{W}}=\sqrt {\frac{2 \cdot h}{g}}\) erhalten wir für die Winkelweite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Auftreffwinkels\[\tan \left( \alpha_{\rm{W}} \right) =\frac{ -\sqrt {2 \cdot g \cdot h}}{v_0} \quad (9')\]

Hinweis: Die Winkelweiten \(\alpha\) bzw. \(\alpha_{\rm{W}}\) lassen sich dann leicht mit Hilfe der Funktion \(\arctan\) (auf vielen Taschenrechnern auch als \(\tan^{-1}\) bezeichnet) aus \(\tan\left(\alpha\right)\) bzw. \(\tan\left(\alpha_{\rm{W}}\right)\) berechnen.

Aufgabe
Aufgabe

In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=125\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

Berechne aus diesen Angaben den Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Auftreffgeschwindigkeit sowie die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Auftreffwinkels.

Lösung

Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Auftreffgeschwindigkeit berechnet sich nach Gleichung \((8')\). Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_{\rm{W}}=\sqrt {{\left( {20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} \right)}^2 + 2 \cdot 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 125\, \rm{m}}=54\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Auftreffwinkels berechnet sich nach Gleichung \((9')\). Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\tan \left( \alpha_{\rm{W}} \right) =\frac{ -\sqrt {2 \cdot 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 125\, \rm{m}}}{20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-2{,}50\]Damit ergibt sich\[\alpha = \arctan\left(-2{,}50\right) = -68^\circ\]