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Grundwissen

Waagerechter Wurf

Das Wichtigste auf einen Blick

In \(x\)-Richtung bewegt sich er Körper gleichförmig, in \(y\)-Richtung gleichmäßig beschleunigt.

Die Bahngleichung \(y(x)\) erhälst du durch Elimination von \(t\) aus den Bewegungsgleichungen.

Die Flugbahn ist eine Parabel mit \(y(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{g}{{v_{0,x}}^2}\cdot x^2\).

Aufgaben Aufgaben
Abb. 1 Stroboskopaufnahme eines waagerechten Wurfs

In der Animation bewegt sich eine Kugel gleichförmig mit der Geschwindigkeit \(v_{0,x}\) auf einer Rampe in der Höhe \(h\) über dem Erdboden. Ein Stroboskop beleuchtet dabei die Anordnung im Sekundentakt. Die jeweilige Position der Kugel wird so markiert.

Die Uhr beginnt zu laufen, wenn die Kugel die Rampe verlässt. Die horizontale Entfernung des Aufschlagpunktes der Kugel von der Rampe stellt die Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) dar.

Bewegungsgesetze des waagerechten (oder horizontalen) Wurfs

Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \(x(t)\), \(y(t)\), \(v_x(t)\) und \(v_y(t)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinaten \(x\) und \(y\) und die Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\) und \(v_y\)des Körpers bestimmen.

  Zeit-Weg-Gesetz Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz
\(x\)-Komponente: gleichförmige Bewegung \[x(t) = {v_{0,x}}\cdot t\;(1)\] \[{v_x}(t) = {v_{0,x}}\]
\(y\)-Komponente: gleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall) \[y(t) = \frac{1}{2}\cdot g \cdot {t^2}\;(2)\] \[{v_y}(t) = g \cdot t\]
Bahngleichung des waagerechten Wurfs

Mit Hilfe der Bahngleichung \(y(x)\) lässt sich zu jeder \(x\)-Koordinate des Körpers die zugehörige \(y\)-Koordinate bestimmen. Die Bahngleichung erhält man durch Elimination der Zeit aus den Bewegungsgleichungen. Aus \((1)\) folgt nämlich \(t = \frac{x}{{{v_{0,x}}}}\). Setzt man dies in \((2)\) ein, so ergibt sich\[y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_{0,x}}}}} \right)^2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_{0,x}}^2}} \cdot {x^2}\]Die Bahn des horizontalen Wurfes hat also Parbelform, weshalb man sie auch als Wurfparabel bezeichnet.

Wurfweite des waagerechten Wurfs

Als Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) des waagerechten Wurfs bezeichnet man die \(x\)-Koordinate nach der sogenannten Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\); dies ist die Zeit, welche der Körper zum Durchfallen der Höhe \(h\) benötigt. Es gilt\[{h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}}  \Rightarrow {x_{\rm{W}}} = {v_{0,x}} \cdot {t_{\rm{F}}} = {v_{0,x}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} }\]

Aufgabe

Bestimmen Sie aus der Animation rechnerisch die Horizontalgeschwindigkeit \(v_{0,x}\) der Kugel, die Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) und die Fallhöhe \(h\).

Lösung

Berechnung der Horizontalgeschwindigkeit:
                        \[{v_{0,x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow {v_{0,x}} = \frac{{100{\rm{m}}}}{{5{,}0\,{\rm{s}}}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
                        Berechnung der Wurfweite:
                        \[x_{\rm{W}} = v_{0,x} \cdot {t_{\rm{F}}} \Rightarrow x_{\rm{W}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5{,}3\,{\rm{s}} = 106\,{\rm{m}}\]
                        Berechnung der Fallhöhe: \[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_f}^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {5{,}3\,{\rm{s}}} \right)^2} = 138\,{\rm{m}}\]

Vektorielle Beschreibung (nur für Fortgeschrittene mit Kenntnissen in Vektorrechnung)

Neben der Komponentendarstellung von Ort und Geschwindigkeit kann man diese Größen - eher formal - auch durch Vektoren darstellen.

waagerechter_wurf-diagramm.gif
Abb. 2 Diagramm der Bewegung

Ortsvektor

Die Lage der Bahnpunkte im Koordinatensystem kann durch den zeitabhängigen Ortsvektor (Spaltenschreibweise) festgelegt werden:
\[\vec r(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x(t)}\\{y(t)}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{0x}} \cdot t}\\{\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\end{array}} \right)\]
In der Skizze sind die Ortsvektoren zu den Zeitpunkten \({{t_{1}}}\) und \({{t_{4}}}\) eingezeichnet.

Entfernung zum Ursprung (Länge des Vektors)
\[\left| {\vec r(t)} \right| = \sqrt {x{{(t)}^2} + y{{(t)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{v_{0x}} \cdot t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}} \right)}^2}} \]

Geschwindigkeitsvektor
\[\vec v(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_x}(t)}\\{{v_y}(t)}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{0x}}}\\{g\cdot t}\end{array}} \right)\]

Betrag der resultierenden Geschwindigkeit
\[\left| {\vec v(t)} \right| = \sqrt {{v_x}{{(t)}^2} + {v_y}{{(t)}^2}} = \sqrt {{v_{0x}}^2 + {{\left( {g\cdot t} \right)}^2}} \]

Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Horizontalen
\[\tan (\varphi ) = \frac{{{v_y}(t)}}{{{v_x}(t)}} = \frac{{g \cdot t}}{{{v_{0x}}}}\]