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Aufgabe

Wellenfunktion 2

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine über eine Feder laufende Transversalwelle hat die Amplitude von \(0{,}20\,{\rm{m}}\) und eine Frequenz von \(175\,{\rm{Hz}}\). Ein Teilchen bei \(x = 0\,{\rm{m}}\) habe bei \(t = 0\,{\rm{s}}\) eine Auslenkung von \(y = 0\,{\rm{m}}\). Zur Zeit \({t_1}\) habe dieses Teilchen das erste Mal die Auslenkung \(y = 0{,}10\,{\rm{m}}\).

Berechne, welche Zeit nach \({t_1}\) verstreicht, bis das Teilchen das nächste Mal die Auslenkung von \(y = 0{,}10\,{\rm{m}}\) hat.

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Der Term der Wellenfunktion lautet bekanntlich
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {t \cdot f - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]
Mit Hilfe der gegebenen Werte lässt sich nun \({t_1}\) berechnen:
\[0,10{\rm{m}} = 0,20{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot \left( {{t_1} \cdot 175{\rm{Hz}} - \frac{{0m}}{\lambda }} \right)} \right) \Leftrightarrow 0,5 = \sin \left( {2 \cdot \pi  \cdot {t_1} \cdot 175\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}} \right)\quad(1)\]
Da die Sinusfunktion den Wert \(0,5\) erstmals beim Argument \(\frac{\pi }{6}\) (das entspricht \({\rm{30}}^\circ \) im Gradmaß) annimmt, muss nun gelten
\[\frac{\pi }{6} = 2 \cdot \pi  \cdot {t_1} \cdot 175\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \Leftrightarrow {t_1} = \frac{1}{{6 \cdot 2 \cdot 175}}{\rm{s}} = 4{,}8 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{s}}\]
Nun ist gefragt, nach welcher Zeitspanne \(\Delta t\) das Teilchen wieder die Auslenkung \(0,10{\rm{m}}\) hat; man berechnet hierzu, zu welchem Zeitpunkt \({t_2}\) das Teilchen wieder die Auslenkung \(0,10{\rm{m}}\) hat, was zu einer zu \((1)\) analogen Gleichung für den Zeitpunkt \({t_2}\) führt. Die Lösung findet man, indem man überlegt, dass die Sinusfunktion den Wert \(0,5\) das nächste Mal beim Argument \({\frac{{5 \cdot \pi }}{6}}\) (das entspricht \({\rm{150}}^\circ \) im Gradmaß) annimmt. Daraus ergibt sich
\[\frac{{5 \cdot \pi }}{6} = 2 \cdot \pi  \cdot {t_2} \cdot 175\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} \Leftrightarrow {t_2} = \frac{5}{{6 \cdot 2 \cdot 175}}{\rm{s}} = 23{,}8 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{s}}\]
Die zwischen den Zeitpunkten \({t_1}\) und \({t_2}\) verstrichene Zeitspanne \(\Delta t\) berechnet sich schließlich durch
\[\Delta t = {t_2} - {t_1} \Rightarrow \Delta t = 23{,}8 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{s}} - 4{,}8 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{s}} = 19 \cdot {10^{ - 4}}\,{\rm{s}} = 1{,}9\,{\rm{ms}}\]