Mechanische Wellen

Mechanik

Mechanische Wellen

  • Was bewegt sich eigentlich bei einer Welle?
  • Wie entsteht ein Tsunami?
  • Wie funktioniert eine Orgelpfeife?

In unserer Umwelt treten Wellen in vielerlei Bereichen auf. Die Bilder zeigen einige Beispiele für Wellen.

La Ola im Stadion
Wasserwelle
elektromagnetische Wellen
aus dem Weltraum
Schallwellen aus dem Horn

Definition

Eine - zugegeben etwas abstrakte -Definition der Welle lautet: Eine Welle ist eine räumliche und zeitliche Zustandsänderung physikalischer Größen, die meist nach bestimmten periodischen Gesetzmäßigkeiten erfolgt.

Im Folgenden werden zunächst nur mechanische Wellen betrachtet.

5 Kugel-Feder-Modell als Modell für ein Medium, in dem sich Wellen ausbreiten können

Die Ausbreitung mechanischer Wellen erfordert einen Träger (dies können feste, flüssige oder gasförmige Körper sein) in dem sich schwingungsfähige Teilchen befinden.

Diese schwingungsfähigen Teilchen müssen untereinander eine Kopplung aufweisen, so dass sich die von außen einwirkende Störung über das System fortpflanzen kann.

Zur Veranschaulichung arbeitet man oft mit dem sogenannten Kugel-Feder-Modell (vgl. Abb. 5). Die Kugeln symbolisieren die schwingungsfähigen Teilchen, die Federn deuten auf die Kopplung zwischen den Teilchen hin. Der Einfachheit halber zeichnet man statt der Federn häufig nur Striche zwischen den Teilchen.

6 Ausbreitung einer Welle und Ausbreitungsgeschwindigkeit

Ein Erreger zwingt ein Teilchen des Körpers aus seiner Ruhelage. Aufgrund seiner Trägheit übernimmt das nächste Teilchen etwas zeitversetzt diese Störung, es entsteht eine Phasenverschiebung \(\Delta \varphi \) zwischen den Bewegungen benachbarter Teilchen. Auf diese Weise pflanzt sich die Störung durch den Körper fort.

Die Geschwindigkeit mit der sich die Störung durch den Körper bewegt nennt man Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\).

Sehr häufig wird das von außen angeregte Teilchen zu einer Sinusschwingung angeregt. Man bezeichnet die daraufhin entstehende Welle als harmonische Welle.

Mit der Ausbreitung der Welle ist ein Energietransport, aber kein Materietransport verbunden. Diese Ausbreitung der Energie in den Raum bei einer Welle ist ein wesentlicher Unterschied zur Schwingung, bei der die Energie nur zwischen zwei Orten hin- und herpendelt.

Wellenfronten und Wellenstrahlen

 
 

Zwischen der erzwungenen Schwingung an einer bestimmten Stelle des Wellenfeldes und der Schwingung des Erregers besteht eine Phasendifferenz. Alle Punkte, die gleich weit vom Erregerzentrum entfernt sind, schwingen in Phase.

Benachbarte Punkte gleicher Phase bilden die sogenannte Wellenfront.

Senkrecht zu den Wellenfronten verlaufen die Wellennormalen (man nennt sie auch Wellenstrahlen), welche die Ausbreitungsrichtung der Welle angeben.

Die Abb. 1 und 2 zeigen die Wellenfronten und die Wellenstrahlen bei zwei verschiedenen Typen von Wellen, den Kreis- und den ebenen Wellen.

Transversal oder Querwellen

1 Transversal- oder Querwelle

Bei einer oder Transversal- oder Querwelle schwingen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Die Animation in Abb. 1 zeigt eine Anordnung von elastisch gekoppelten Körpern, in der sich eine (ebene) Transversalwelle nach rechts ausbreitet; die einzelnen Teilchen bewegen sich nach oben und unten, also senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.

Longitudinal- oder Längswellen

2 Longitudinal- oder Längswelle

Bei einer oder Longitudinal- oder Längswelle schwingen die Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung.

Die Animation in Abb. 2 zeigt eine Anordnung von elastisch gekoppelten Körpern, in der sich eine (ebene) Longitudinalwelle nach rechts ausbreitet; die einzelnen Teilchen bewegen sich nach rechts und links, also parallel zur Ausbreitungsrichtung.

Wasserwellen

3 Wasserwelle

Spricht man von Wellen, so denken die meisten Menschen an Wellen die sich an der Wasseroberfläche ausbreiten. Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass Wasserwellen sich wie die oben beschriebenen Querwellen verhalten. Tatsächlich sind Wasserwellen sogenannte Kreiswellen, wie die Animationen in den Abb. 3 und 4 zeigen. Die Wasserteilchen bewegen sich wohl quer zur Ausbreitungsrichtung, jedoch nicht vertikal wie oben, sondern auf Kreisen.

4 Fast kreisförmige Bewegung einzelner Wasserteilchen in einer Wasserwelle

Die Animation in Abb. 4 zeigt dir noch einmal sehr deutlich, dass sich die Wasserteilchen fast auf Kreisbahnen bewegen.

Du kannst weiter deutlich beobachten, dass bei einer Wasserwelle Wellenberg und Wellental nicht dieselbe Form haben: Der Wellenberg ist kürzer und steiler als das Wellental.

Bisher haben wir die Wellen danach unterschieden, wie sich die einzelnen Teilchen in dem Medium, in dem sich die Welle ausbreitet, bewegen.

Eine andere Möglichkeit der Einordnung von Wellen besteht in der Unterscheidung, wie sich die Welle im Raum ausbreitet. Eine Welle kann sich in einer Dimension wie z.B. eine Welle am gespannten Seil oder längs einer Schraubenfeder ausbreiten.

In der Natur treten sehr häufig aber auch mechanische Wellen auf, die sich in zwei Dimensionen wie z.B. Oberflächenwellen beim Wasser oder gar drei Dimensionen wie z.B. Schallwellen in Luft ausbreiten.

Bei den zwei- und dreidimensionalen Wellen werden wir im Folgenden noch zwei Grundformen zeigen.

Kreis- oder Kugelwellen

5 Ausbreitung einer Kreis- oder Kugelwelle

Kreiswellen entstehen z.B. beim Werfen eines Steins ins Wasser oder wie in der Animation in Abb. 5 durch einen kleinen Tupfer (rot)

Hinweise

Mit "Start 1" kommst du zur Darstellung, in der Wellenberge (blau) und Wellentäler (weiß) dargestellt sind.

Mit "Start 2" erreichst du eine vereinfachte Darstellung, in der nur die Wellenberge (als Striche) dargestellt sind

Ebene Wellen

6 Ausbreitung einer ebenen Welle

Ebene Wellen entstehen z.B. z.B. durch eine Störung der Wasseroberfläche mit einem Lineal oder wie in der Animation in Abb. 6 durch einen geraden Tupfer (rot). In großer Entfernung vom Erreger erscheinen auch Kreiswellen wie ebene Wellen.

Hinweise

Mit "Start 1" kommst du zur Darstellung, in der Wellenberge (blau) und Wellentäler (weiß) dargestellt sind.

Mit "Start 2" erreichst du eine vereinfachte Darstellung, in der nur die Wellenberge (als Striche) dargestellt sind

Größen zur Beschreibung einer Welle

\( \hat{y}\)

Amplitude: Maximale Auslenkung der schwingenden Teilchen einer Welle aus ihrer Ruhelage. Wir gehen dabei davon aus, dass die Welle ungedämpft ist, d.h dass alle schwingenden Teilchen die gleiche Amplitude wie das erregende Teilchen besitzen.

\(T\)

Schwingungsdauer: Zeit, die jedes einzelne Teilchen der harmonischen Welle für eine volle Schwingung benötigt. Wir gehen dabei davon aus, dass alle schwingenden Teilchen die gleiche Schwingungsdauer wie das erregende Teilchen besitzen.

\(f\)

Frequenz: Anzahl der Schwingungsperioden jedes einzelne Teilchens pro Zeiteinheit. Wir gehen dabei davon aus, dass alle schwingenden Teilchen die gleiche Frequenz wie das erregende Teilchen besitzen. Es gilt \(f = \frac{1}{T}\).

\(\omega\)

Kreisfrequenz: Überstrichener Winkel (im Bogenmaß) jedes einzelne Teilchens pro Zeiteinheit. Wir gehen dabei davon aus, dass alle schwingenden Teilchen die gleiche Kreisfrequenz wie das erregende Teilchen besitzen. Es gilt \(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f =\frac{2 \cdot \pi}{T}\)

Bemerkung: Unter den von uns genannten Annahmen sind Amplitude \( \hat{y}  \) und Schwingungsdauer \(T\) (bzw. Frequenz \(f\) und Kreisfrequenz \(\omega\)) einer Welle allein durch den Erreger der Welle bestimmt.

\(c\)

Phasen- oder Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle: Geschwindigkeit, mit der sich die Störung über den Wellenträger ausbreitet. Leicht zu bestimmen ist \(c\), wenn man einen ausgezeichneten Punkt (z.B. den Wellenberg) beobachtet.

Achtung: Die Phasengeschwindigkeit ist nicht mit der Geschwindigkeit der von der Welle erfassten Teilchen zu verwechseln.

Bemerkung: Die Phasen- oder Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) einer Welle ist allein durch den Wellenträger bestimmt.

\(\lambda \)

Wellenlänge: x-Abstand eines Teilchens zum nächsten Teilchen im gleichen Schwingungszustand (d.h. die beiden Teilchen müssen die gleiche Auslenkung und die gleiche Geschwindigkeit haben).

Anmerkung: Zu Teilchen mit gleichem Schwingungszustand sagt man auch gleichphasig schwingende Teilchen.

Bemerkung: Die Wellenlänge \(\lambda \) einer Welle ist keine unabhängige Größe, sondern ist immer durch die beiden Größen Schwingungsdauer \(T\) (bzw. Frequenz \(f\)) und Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) und damit durch den Erreger und den Wellenträger festgelegt. Es gilt \(\lambda  = c \cdot T = \frac{c}{f}\).

Hinweis: Der obige Zusammenhang \(\lambda  = c \cdot T = \frac{c}{f}\) wird in Büchern oder Formelsammlungen (leider) oft geschrieben als \(c = \lambda  \cdot f\), was fälschlicherweise suggeriert, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) durch die Wellenlänge \(\lambda\) und die Frequenz \(f\) bestimmt wird.

Die folgende Animation verdeutlicht die wichtigsten Größen zur Beschreibung einer Welle.

Amplitude y
Frequenz f
Ausbreitungsgeschwindigkeit
c
Wellenlänge λ
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1 Größen zur Beschreibung einer Welle: Amplitude, Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge

Reflexion einer (transversalen) Störung am festen Ende

Eine von links nach rechts laufende Störung trifft auf ein festes Ende und wird dort reflektiert. Man erkennt, dass ein Wellenberg als Wellental reflektiert wird (Phasenumkehr!). Diesen Versuch kann man mit jedem elastischen Seil nachvollziehen, wenn man ein Seil an einem Ende anbindet und am anderen Ende mit der Hand eine Störung auslöst.

2 Reflexion eines Wellenbergs am festen Ende einer Kugelkette

Reflexion einer (transversalen) Störung am losen Ende