Mechanische Wellen

Zum Zeitpunkt \(t+T\) gilt (beachte, dass \(\sin{(x+2\pi)} = \sin{(x)}\))
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( {x;t + T} \right)}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{{t + T}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{T}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + 1 - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right) + 2\pi } \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = y\left( {x;t} \right)}\end{array}\]

Zu den Zeitpunkten \(t\) und \(t+T\) nimmt die Wellenfunktion also an jedem Ort \(x\) dieselben Werte an.

Am Ort \(x+\lambda\) gilt (beachte, dass \(\sin{(x-2\pi)} = \sin{(x)}\))
\[\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( {x + \lambda ;t} \right)}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{x + \lambda }}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda } - \frac{\lambda }{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda } - 1} \right)} \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right) - 2\pi } \right)}\\{}&{ = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)}\\{}&{ = y\left( {x;t} \right)}\end{array}\]

An den Orten \(x\) und \(x+\lambda\) nimmt die Wellenfunktion also zu jeder Zeit \(t\) dieselben Werte an.