Mechanik

Mechanische Schwingungen

Federpendel für Experten (Smartphone-Experiment mit phyphox)

  • Wovon hängt eigentlich die Schwingungsdauer eines Pendels ab?
  • Geht eine Standuhr auf dem Mond genau?
  • Wie misst man im Weltall die Masse der Astronauten?

Federpendel für Experten (Smartphone-Experiment mit phyphox)

Das Ziel des Versuchs

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause die Abhängigkeit der Schwingungsdauer \(T\) von der Masse \(m\) des Pendelkörpers und der Federkonstanten \(D\) eines Federpendels experimentell entwickeln. Die App auf deinem Smartphone bestimmt dabei die Schwingungsdauer \(T\) bzw. die Frequenz \(f\).

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1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Federpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Federpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... wissen, was man unter einer Periodischen Bewegung, der Periodendauer (oder kurz Periode) \(T\) und der Frequenz \(f\) versteht.
  • ... die Federkonstante (Federhärte) \(D\) einer Feder bestimmen können.
  • ... Messwerte doppelt-logarithmisch auftragen und die entstehenden Graphen auswerten können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • eine oder mehrere Federn oder Gummibänder
  • stabiles Klebeband (Panzerband)
  • eine transparente Plastiktüte (Gefrierbeutel) als Halterung und Schutz für das Smartphone

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Federpendel nur die ersten 3 Minuten des Videos wichtig.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Federpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Beschleunigung besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Federpendel".

Der Beschleunigungssensor deines Smartphones misst ständig die Beschleunigung in drei Bewegungsrichtungen. Diese Beschleunigungswerte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Beschleunigungswerte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "ERGEBNISSE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Die Masse \(m\) des Pendelkörpers ist die Masse deines Smartphones. Du kannst sie verändern, indem du z.B. zusätzliche Massen an der Aufhängung befestigst oder aber ein anderes Smartphone mit einer anderen Masse benutzt. Wichtig ist, jeweils die Masse \(m\) mit einer Waage zu messen.

Die Federkonstante \(D\) kannst du auf verschiedene Arten verändern: Entweder du hast verschiedene Federn zur Auswahl, oder aber du hängst zwei oder mehr gleiche Federn hinter- oder nebeneinander. Wichtig ist, jeweils die Federkonstante \(D\) deiner Anordnung zu bestimmen. Solltest du keine Feder zur Hand haben, kannst du zur Not statt einer Feder auch ein oder besser mehrere Gummibänder benutzen.

Aufgabe

Abhängigkeit von der Masse \(m\)

Halte die Federkonstante \(D\) konstant und verändere die Masse \(m\).

Halte die verschiedenen Werte von \(m\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(m\) und \(T\) doppelt logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(T\) und \(m\) an.

Lösung

Für \(D = 3,00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\)
 

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(T \sim {m^\alpha}\) und \(0 < \alpha < 1\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt logarithmisch aufträgt und die Steigung der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {m/{\rm{kg}}} \right)\) \(-2{,}30\) \(-1{,}90\) \(-1{,}61\) \(-1{,}39\) \(-1{,}20\)
\(\ln \left( {T/{\rm{s}}} \right)\) \(0{,}14\) \(0{,}34\) \(0{,}48\) \(0{,}60\) \(0{,}69\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=0{,}50\); der Zusammenhang zwischen \(T\) und \(m\) ist damit mit großer Genauigkeit \(T \sim {m^{\frac{1}{2}}}\) bzw. \(T \sim \sqrt m \).

Abhängigkeit von der Federkonstanten \(D\)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) und die Masse \(m\) konstant und verändere die Federkonstante \(D\).

Halte die verschiedenen Werte von \(D\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(D\)-\(T\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(D\) und \(T\) doppelt logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(T\) und \(D\) an.

Lösung

Für \(m = 0,100\rm{kg}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(1{,}15\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(T \sim {m^\alpha}\) und \(\alpha < 0\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt logarithmisch aufträgt und die Steigung der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {D/{\rm{\frac{N}{m}}}} \right)\) \(0{,}00\) \(0{,}69\) \(1{,}10\) \(1{,}39\) \(1{,}61\)
\(\ln \left( {T/{\rm{s}}} \right)\) \(0{,}69\) \(0{,}34\) \(0{,}14\) \(-0{,}01\) \(-0{,}12\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=-0{,}50\); der Zusammenhang zwischen \(D\) und \(m\) ist damit mit großer Genauigkeit \(T \sim {D^{-\frac{1}{2}}}\) bzw. \(T \sim \frac{1}{\sqrt D} \).

Bestimmung des konstanten Faktors

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestimme mit diesem Diagramm den konstanten Faktor im Zusammenhang zwischen \(T\), \(m\) und \(D\).

Lösung

Mit allen Messwerten aus den ersten beiden Teilaufgaben erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\)
\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(\sqrt {\frac{m}{D}/\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}18\) \(0{,}22\) \(0{,}26\) \(0{,}29\) \(0{,}32\) \(0{,}32\) \(0{,}22\) \(0{,}16\) \(0{,}14\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit beträgt der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und der gesuchte Zusammenhang lautet \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \).


Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten.

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

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