Mechanische Schwingungen

Aus\[x(t) = \hat{x} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }}\left( {\left( {\lambda + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} + \left( {\lambda - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\]erhält man durch Ableiten (Produkt- und Kettenregel)\[\dot x(t) = \hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot \left( {{\lambda ^2} - {\delta ^2}} \right) \cdot \left( {{e^{\lambda  \cdot t}} - {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]und durch erneutes Ableiten\[\ddot x(t) = \hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot \left( {{\lambda ^2} - {\delta ^2}} \right) \cdot \left( {\left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\]Setzt man \(\ddot x(t)\), \(\dot x(t)\) und \(x(t)\) in die Differentialgleichung ein und klammert \(\hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}}\) aus, so erhält man\[\hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ {\left( {{\lambda ^2} - {\delta ^2}} \right) \cdot \left( {\left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) + \frac{k}{m} \cdot \left( {{\lambda ^2} - {\delta ^2}} \right) \cdot \left( {{e^{\lambda  \cdot t}} - {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) + \frac{D}{m} \cdot \left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right)} \right] = 0\]Nutzen wir nun\[{\lambda ^2} - {\delta ^2} = {\delta ^2} - {\omega _0}^2 - {\delta ^2} =  - {\omega _0}^2\]\[\frac{D}{m} = {\omega _0}^2\]sowie\[\delta  = \frac{k}{{2 \cdot m}} \Leftrightarrow \frac{k}{m} = 2 \cdot \delta \]und setzen dies ein, so können wir \({\omega_0}^2\) ausklammern und erhalten\[\hat x \cdot \frac{{{\omega _0}^2}}{{2 \cdot \lambda }} \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ { - \left( {\left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) - 2 \cdot \delta  \cdot \left( {{e^{\lambda  \cdot t}} - {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right) + \left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right)} \right] = 0\]Multiplizieren wir nun in der eckigen Klammer aus und fassen schließlich noch zusammen, so ergibt sich\[\hat x \cdot \frac{{{\omega _0}^2}}{{2 \cdot \lambda }} \cdot {e^{ - \delta  \cdot t}} \cdot \left[ {\left( {\underbrace { - \lambda  + \delta  - 2 \cdot \delta  + \delta  + \lambda }_{ = \;0}} \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot t}} + \left( {\underbrace { - \lambda  - \delta  + 2 \cdot \delta  + \lambda  - \delta }_{ = \;0}} \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot t}}} \right] = 0\]Die ist eine wahre Aussage, was zu zeigen war.

\[\begin{eqnarray}x(0\,{\rm{s}}) &=& \hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot \left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot {e^{\lambda  \cdot 0\,{\rm{s}}}} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot {e^{ - \lambda  \cdot 0\,{\rm{s}}}}} \right) \cdot {e^{ - \delta  \cdot 0\,{\rm{s}}}}\\ &=& \hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot \left( {\left( {\lambda  + \delta } \right) \cdot \underbrace {{e^0}}_{ = \;1} + \left( {\lambda  - \delta } \right) \cdot \underbrace {{e^0}}_{ = \;1}} \right) \cdot \underbrace {{e^0}}_{ = \;1} = \hat x \cdot \frac{1}{{2 \cdot \lambda }} \cdot 2 \cdot \lambda  = \hat x = x_0\end{eqnarray}\]

\[\left[ \delta  \right] = \left[ {\frac{k}{{2 \cdot m}}} \right] = \frac{{\frac{{{\rm{N}}\;{\rm{s}}}}{{\rm{m}}}}}{{{\rm{kg}}}} = \frac{{{\rm{N}}\;{\rm{s}}}}{{{\rm{m}}\;{\rm{kg}}}} = \frac{{\frac{{{\rm{kg}}\;{\rm{m}}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{m}}\;{\rm{kg}}}} = \frac{{{\rm{kg}}\;{\rm{m}}\;{\rm{s}}}}{{{{\rm{s}}^2}\;{\rm{m}}\;{\rm{kg}}}} = \frac{1}{{\rm{s}}}\]