Mechanische Schwingungen

Ausblick

Federpendel gedämpft (Theorie)

Die in einem physikalischen Experiment gewonnenen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für die Bewegung eines horizontalen Federpendels im Folgenden durchgeführt.

Größen

Abb. 1 Bewegung eines gedämpften Federpendels und einige Größen, die zur Beschreibung der Bewegung wichtig sind

Ein Körper mit der Masse \(m\) befindet sich am freien Ende einer Feder mit der Federkonstante \(D\); Körper und Feder können sich nur in horizontaler Richtung bewegen. Da es sich somit um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob die Größen in die positive oder die negative Ortsrichtung orientiert sind.

Das gesamte System soll sich in einem viskosen Medium z.B. Wasser befinden, so dass auf den Körper (und die Feder) viskose Reibungskräfte wirken. Eine solche Anordnung bezeichnet man kurz als (horizontales) gedämpftes Federpendel.

Um die Bewegung zu beschreiben nutzen wir eine nach rechts gerichtete \(x\)-Ortsache mit dem Ursprung in der Ruhelage des Körpers. Lenkt man den Körper aus der Ruhelage bei \(x=0\) auf eine Position \(x=x_0>0\) aus, hält ihn dort fest (\(v=0\)) und lässt ihn dann los, so führt er eine periodische Bewegung aus (vgl. Animation).

Wegen der obigen Annahmen wirken auf den Körper zu jedem Zeitpunkt der Bewegung zwei Kräfte:

•Die rücktreibende Kraft \(F_{\rm{F}}\) der Feder. Diese berechnet sich aus der Federkonstanten \(D\) und der momentanen Auslenkung \(x\) durch \(D \cdot x\). Da die Federkraft entgegen der Auslenkung gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{F}} = - D \cdot x\).

•Die (viskose) Reibungskraft \(F_{\rm{VR}}\) zwischen Medium und Körper. Diese berechnet sich aus der Reibungskonstanten \(k\) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) durch \(k \cdot v\). Da die viskose Reibung entgegen der Geschwindigkeit gerichtet ist, gilt hier \(F_{\rm{VR}} = - k \cdot v\).

Nach dem 2. NEWTONschen Gesetz, der Grundgleichung der Mechanik, gilt dann zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung des Körpers die Gleichung\[m \cdot a = {F_{\rm{F}}}+{F_{\rm{VR}}}\]Mit \(a = \ddot x(t)\) (Definition des Beschleunigung als 2.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{F}}} = {F_{\rm{F}}}(x(t)) = - D \cdot x(t)\) (HOOKEsches Gesetz) sowie \(v = \dot x(t)\) (Definition des Geschwindigkeit als 1.Ableitung des Ortes nach der Zeit) und \({F_{\rm{VR}}} = {F_{\rm{VR}}}(v(t)) = - k \cdot v(t) = -k \cdot \dot x(t)\) (Gesetz der viskosen Reibung) ergibt sich\[m \cdot \ddot x(t) = - D \cdot x(t) - k \cdot \dot x(t)\]Dividiert man noch beide Seiten dieser Gleichung durch die Massen \(m\) und bringt den Term auf der rechten auf die linke Seite der Gleichung, so erhält man\[\ddot x(t) + \frac{k}{m} \cdot \dot x(t) + \frac{D}{m} \cdot x(t) = 0 \quad (*)\]Dies ist die homogene Differentialgleichung 2. Ordnung für die Elongation \(x(t)\) des Körpers während des Schwingungsvorgangs mit den beiden Anfangsbedingungen \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) und \(v(0\,\rm{s}) = 0\).

Aufgabe

Elongation des Körpers

a)Weise nach, dass die Funktion \(x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\) mit \(\hat x = x_0\), \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \) eine Lösung der Differentialgleichung \((*)\) ist. Leite dazu die Funktion \(x(t)\) zwei Mal nach der Zeit \(t\) ab, setze \(\ddot x(t)\), \(\dot x(t)\) und \(x(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse so weit zusammen, bis eine wahre Aussage entsteht.

b)Zeige, dass die Funktion \(x(t)\) auch die erste Anfangsbedingung \(x(0\,\rm{s}) = {x_0}\) erfüllt.

Im Folgenden sei nun \(m = 0{,}203\,{\rm{kg}}\), \(D = 2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\), \(k=0{,}0500\,\rm{\frac{kg}{s}}\) und \({x_0} = 0{,}100\,{\rm{m}}\).

c)Berechne den Abklingfaktor \(\delta\), die Kreisfrequenz \({\omega}\), die Frequenz \(f\) und die Schwingungsdauer \(T\).

d)Erstelle den Graph der Funktion \(x(t)\) in einem geeigneten skalierten und beschrifteten Koordinatensystem.

Lösung

a)Aus\[x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\]erhält man durch Ableiten (Produkt- und Kettenregel) \[\dot x(t) = - \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {\delta \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\]und durch erneutes Ableiten (Produkt- und Kettenregel) \[\ddot x(t) = \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {{\delta ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + 2 \cdot \delta \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) - {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\]Setzt man nun \(\ddot x(t)\), \(\dot x(t)\) und \(x(t)\) in die Differentialgleichung ein, so erhält man\[\hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {{\delta ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + 2 \cdot \delta \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) - {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) + \frac{k}{m} \cdot \left( { - \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {\delta \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)} \right) + \frac{D}{m} \cdot \hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) = 0\]Ausklammern von \(\hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}}\) liefert\[\hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {{\delta ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + 2 \cdot \delta \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) - {\omega ^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) - \frac{k}{m} \cdot \delta \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) - \frac{k}{m} \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{D}{m} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)\]Sortiert man in der Klammer nach "\(\sin\)" und "\(\cos\)" ergibt sich\[\hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {\left( {{\delta ^2} - {\omega ^2} - \frac{k}{m} \cdot \delta + \frac{D}{m}} \right) \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \left( {2 \cdot \delta \cdot \omega - \frac{k}{m} \cdot \omega } \right) \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) = 0\]Setzt man wie oben angegeben \(\delta = \frac{k}{2 \cdot m}\) und \({\omega} = \sqrt {\frac{D}{m} - \delta^2} \), so erhält man für den Faktor vor dem "\(\cos\)"\[\begin{array}{l}{\left( {\frac{k}{{2 \cdot m}}} \right)^2} - {\left( {\sqrt {\frac{D}{m} - {{\left( {\frac{k}{{2 \cdot m}}} \right)}^2}} } \right)^2} - \frac{k}{m} \cdot \left( {\frac{k}{{2 \cdot m}}} \right) + \frac{D}{m}\\ = \frac{{{k^2}}}{{4 \cdot {m^2}}} - \left( {\frac{D}{m} - \frac{{{k^2}}}{{4 \cdot {m^2}}}} \right) - \frac{{{k^2}}}{{2 \cdot {m^2}}} + \frac{D}{m}\\ = \frac{{{k^2}}}{{4 \cdot {m^2}}} - \frac{D}{m} + \frac{{{k^2}}}{{4 \cdot {m^2}}} - \frac{{{k^2}}}{{2 \cdot {m^2}}} + \frac{D}{m}\\ = 0\end{array}\]und für den Faktor vor dem "\(\sin\)"\[2 \cdot \delta \cdot \omega - \frac{k}{m} \cdot \omega = 2 \cdot \left( {\frac{k}{{2 \cdot m}}} \right) \cdot \omega - \frac{k}{m} \cdot \omega = 0\]also insgesamt\[\hat x \cdot {e^{ - \delta \cdot t}} \cdot \left( {0 \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + 0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)} \right) = 0\]also eine wahre Aussage, was zu zeigen war.

b)\[x(0\,{\rm{s}}) = \hat x \cdot \underbrace {{e^{ - \delta \cdot 0\,{\rm{s}}}}}_{ = \,1} \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0\,{\rm{s}}} \right)}_{ = \,1} = \hat x = {x_0}\]

c)\[\delta = \frac{k}{{2 \cdot m}} \Rightarrow \delta = \frac{{0{,}050\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot 0{,}203\,{\rm{kg}}}} = 0{,}123\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]\[\omega = \sqrt {\frac{D}{m} - {\delta ^2}} \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{2{,}00\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0{,}203\,{\rm{kg}}}} - {{\left( {0{,}123\,\frac{1}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]\[f = \frac{{{\omega}}}{{2 \cdot \pi }} \Rightarrow f = \frac{{3{,}14\,\frac{1}{{\rm{s}}}}}{{2 \cdot \pi }} = 0{,}500\,{\rm{Hz}}\]\[T = \frac{1}{f} \Rightarrow T = \frac{1}{{0{,}500\,{\rm{Hz}}}} = 2{,}00\,{\rm{s}}\]Bemerkung: Im Rahmen der angegebenen Genauigkeiten von 3 gültigen Ziffern stimmt der Wert von \(\omega\) mit dem von \(\omega_0\) der ungedämpften Schwingung überein. Aus der Rechnung wird aber klar, dass \(\omega < \omega_0\) ist und damit \(f<f_0\) und \(T>T_0\).

d)\[x(t) = 0{,}100\,\rm{m} \cdot e^{ - 0{,}123\,\frac{1}{\rm{s}} \cdot t} \cdot \cos \left( 3{,}14\,\frac{1}{\rm{s}} \cdot t \right)\]

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