Ein Freizeitpark stellt Skatern verschiedene Bahnen zur Verfügung. Die Läufer werden im folgenden als Massenpunkte behandelt, die sich auf den Oberflächen der Bahnen reibungsfrei bewegen.
Eine solche Halfpipe besteht aus einem Halbzylinder mit Radius \(r\) (half-pipe). Der Skater Kilian startet im Punkt \(A\) aus der Ruhe heraus und führt anschießend eine kreisbogenförmige periodische Hin- und Herbewegung aus.
a)
Erläutern Sie, dass die Bewegung des Skaters für kleine Auslenkungen \(s\) ( \(\left| s \right| \ll r\) ) eine harmonische Schwingung darstellt.
b)
Stellen Sie die Differentialgleichung für die Auslenkung \(s(t)\) auf und geben Sie eine Lösungsfunktion an.
c)
Bestimmen Sie die Periodendauer \(T\) für \(r = 3{,}0\,\rm{m}\).
d)
Zwei Skater starten zum Zeitpunkt \(t = 0\,\rm{s}\) in die Punkten \(A\) (Auslenkung \({s_A (0)}\) ) und \(B\) (Auslenkung \({s_B (0\,\rm{s})} = -2 \cdot s_A (0\,\rm{s}) \) ) aus der Ruhe heraus und bewegen sich aufeinander zu. Beide Amplituden sind wieder klein.
Erläutere wo und nach welcher Zeit \(t\) sich die beiden Skater begegnen.
Die Bewegung des Skaters entspricht der Bewegung eines Fadenpendels, wobei die Pendellänge dem Radius der Halfpipe entspricht. Die Rückstellkraft ist Tangentialkomponente der Gewichtskraft \(F_{\rm{g}}\). Somit führt der Skater eine harmonische Schwingung aus.
b)
Die Differenzialgleichung ist \(\ddot s(t) + \frac{g}{l} \cdot s(t) = 0\), die Lösungsfunktion ist \(s(t) = {s_0} \cdot \cos \left( {\omega_0 \cdot t}\right) \quad {\rm{mit}} \quad \omega_0 = \sqrt {\frac{g}{l}}\)
c)
Für die Periodendauer \(T\) gilt hier \(T=2\pi\cdot \sqrt{\frac{r}{g}}\). Einsetzen der gegebenen Werte liefert mit zwei gültigen Ziffern \[T=2\pi\sqrt{\frac{3{,}0\,\rm{m}}{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}}=3{,}4\,\rm{s}\]
d)
Da beide Skater aus der Ruhe starten und aufeinander zufahren, treffen sich die Skater unabhängig von ihrer Ausgangshöhe am tiefsten Punkt der Bahn. Für den Weg von der maximalen Auslenkung bis zum Durchgang durch die Ruhelage vergeht genau ein Viertel einer Periode. Es ist also \[t=\frac{T}{4}=\frac{3{,}4\,\rm{s}}{4}=0{,}85\,\rm{s}\]
