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Aufgabe

Pendel oder schiefe Ebene

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von Toni Thanner, Weilheim

Drei Kugeln A, B und C werden gleichzeitig losgelassen.

In welcher Reihenfolge kommen sie am Boden an? Begründe deine Antwort zunächst qualitativ und dann quantitativ, indem du die Zeit berechnest, welche die Kugel benötigt um von der Höhe L bis zum Boden zu gelangen.

Hinweise

Die Schwingungsdauer des um 90° ausgelenkten Pendelkörpers A vergrößert sich gegenüber einer harmonischen Schwingung ca. um den Faktor 1,1.

Die Kugel B gleitet auf der gut geölten Fahrbahn, so dass ihre Rotationsenergie und Reibung vernachlässigbar ist.

Die Kugel C fällt frei.

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Abb. 2 Auftreffen der drei Kugeln zu unterschiedlichen Zeitpunkten

Die Kugeln kommen in der Reihenfolge: C vor A vor B am Boden an (wie durch die Animation in Abb. 2 auch nahegelegt wird).

Eines vorweg: Aufgrund des Energiesatzes haben A, B und C bei Reibungsfreiheit stets in der gleichen Höhe die gleiche Geschwindigkeit. Der Energiesatz macht jedoch keine Vorhersage wann die Körper unten ankommen.

Entscheidend dafür in welcher Zeit die Körper unten ankommen ist die Vertikalbeschleunigung und somit die beschleunigende Kraft in vertikaler Richtung.

Vergleich von A mit C

Zu Beginn wirkt bei A und C in vertikaler Richtung nur die Gewichtskraft Fg. Beim freien Fall bleibt diese Situation während des ganzen Vorgangs bestehen. Beim Pendel muss dagegen auch noch die Fadenkraft Ff berücksichtigt werden, die eine Vertikalkomponente entgegen der Gewichtskraft besitzt.

Berechnung der Fallzeit tc:\[L = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{C}}}^2 \Rightarrow {t_{\rm{C}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot L}}{g}}  = \sqrt 2  \cdot \sqrt {\frac{L}{g}}  \approx 1,4 \cdot \sqrt {\frac{L}{g}} \]Berechnung der Fallzeit tA: Unter Berücksichtigung des Faktors 1,1 ergibt sich für eine Viertelschwingung des Pendels:\[{t_{\rm{A}}} = \frac{T}{4} = 1,1 \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{4} \cdot \sqrt {\frac{L}{g}}  \approx 1,7 \cdot \sqrt {\frac{L}{g}} \]

 

Vergleich von B mit C und A

Im Fall B muss man neben der Gewichtskraft die Unterlagenkraft Fu berücksichtigen, die wiederum eine Vertikalkomponente hat die der Gewichtskraft entgegengerichtet ist.

Somit kann man auf jeden Fall sagen, dass C schneller unten ist als B.

Der Vergleich von B mit A ist nicht ganz so einfach: Da zu Beginn der Bewegung bei A die größere Kraft in Vertikalrichtung nach unten wirkt als bei B, kommt A "schneller in Schwung" und erreicht trotz gleicher Endgeschwindigkeit eine höhere Durchschnittsgeschwindigkeit. Die Entscheidung, ob der längere Weg von A (\({s_{\rm{A}}} = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot L}}{4} \approx 1,6 \cdot L\)) im Vergleich zu B (\({s_{\rm{B}}} = \sqrt {{L^2} + {L^2}}  = \sqrt 2  \cdot L \approx 1,4 \cdot L\)) durch die höhere mittlere Geschwindigkeit bei der Zeitberechnung wettgemacht wird, muss rechnerisch geklärt werden. \[\frac{{{F_{\rm{H}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} = \frac{h}{l} = \frac{L}{{\sqrt 2  \cdot L}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow {F_{\rm{H}}} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{m \cdot g}}{{\sqrt 2 }}\] Mit Newton II: \[{F_{\rm{H}}} = m \cdot a \Leftrightarrow \frac{{m \cdot g}}{{\sqrt 2 }} = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{g}{{\sqrt 2 }}\]\[{s_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_{\rm{B}}}^2 \Rightarrow {t_{\rm{B}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {s_{\rm{B}}}}}{a}}  = \sqrt {\frac{{2 \cdot \sqrt 2  \cdot L}}{{\frac{g}{{\sqrt 2 }}}}}  = 2 \cdot \sqrt {\frac{L}{g}} \]Insgesamt ergibt sich: tC < tA < tB

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen