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Aufgabe

GALILEI-Pendel

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer \(T = 2{,}0\,{\rm{s}}\). Der Pendelkörper dieses Fadenpendels hat die Masse \(m = 1{,}0\,{\rm{kg}}\). Der Faden hält eine maximale Spannkraft von \({{F_{\max }} = 15\,{\rm{N}}}\) aus.

a)Berechne die Pendellänge dieses Fadenpendels.

b)Berechne die maximal zulässige Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, ohne dass der Faden reißt.

 

Nun wird \(h = 50\,{\rm{cm}}\) unterhalb des Aufhängepunktes ein Stift eingeführt, an dem der Pendelfaden anschlägt und abknickt (Hemmungspendel von GALILEI).

c)Berechne die Schwingungsdauer \({T_{\rm{G}}}\) dieses Hemmungspendels.

d)Berechne die Winkelweite \(\alpha \).

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a)Es wird angenommen, dass die Auslenkung des Pendels so klein ist, dass die üblichen Formeln für das Fadenpendel verwendet werden können. Damit ergibt sich\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{g}}  \Rightarrow l = \frac{{g \cdot {T^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}} \Rightarrow l = \frac{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {2{,}0\,{\rm{s}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}} = 0{,}99\,{\rm{m}}\]

b)Die Fadenspannung ist dann am größten, wenn das Pendel die höchste Geschwindigkeit besitzt und somit die größte Zentripetalkraft \({{\vec F}_{{\rm{ZP}}}}\) aufzuwenden ist. Die Zentripetalkraft wird durch die beiden äußeren Kräfte \({{\vec F}_{{\rm{max}}}}\) (maximale Fadenspannkraft) und \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) (Gewichtskraft des Pendelkörpers) gebildet. Es gilt\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{{\rm{max}}}} - {F_{\rm{G}}} \Rightarrow {F_{{\rm{ZP}}}} = 15\,{\rm{N}} - 9{,}81\,{\rm{N}} = 5{,}2\,{\rm{N}}\]Damit erhält man\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{m \cdot {v_{{\rm{max}}}}^2}}{l} \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{{F_{{\rm{ZP}}}} \cdot l}}{m}}  \Rightarrow {v_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{5{,}2\,{\rm{N}} \cdot 0{,}99\,{\rm{m}}}}{{1{,}0\,{\rm{kg}}}}}  = 2{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

c)Die Schwingungsdauer \({T_{\rm{G}}}\) des Hemmungspendels setzt sich aus der halben Schwingungsdauer des Pendels der Länge \(l\), also \(1{,}0\,{\rm{s}}\), und der halben Schwingungsdauer des Pendels der Länge \({l^*} = l - h = 0{,}50\,{\rm{m}}\) zusammen. Diese erhält man durch\[{T^*} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{{l^*}}}{g}}  \Rightarrow {T^*} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0{,}50\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 1{,}4\,{\rm{s}} \Rightarrow \frac{{{T^*}}}{2} = 0{,}7\,{\rm{s}}\]Damit ergibt sich\[{T_{\rm{G}}} = 1{,}0\,{\rm{s}} + 0{,}7\,{\rm{s}} = 1{,}7\,{\rm{s}}\]

d)Berechnung der Höhe \({h^*}\) aus dem Energiesatz:\[{E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow m \cdot g \cdot {h^*} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v_{{\rm{max}}}}^2 \Leftrightarrow {h^*} = \frac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{2 \cdot g}} \Rightarrow {h^*} = \frac{{{{\left( {2{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 0{,}27\,{\rm{m}}\]Berechnung der Winkelweite \(\alpha \):\[{\rm{cos}}\left( \alpha  \right) = \frac{{{l^*} - {h^*}}}{{{l^*}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( \alpha  \right) = \frac{{0{,}50\,{\rm{m}} - 0{,}27\,{\rm{m}}}}{{0{,}50\,{\rm{m}}}} = 0{,}46 \Rightarrow \alpha  = 63^\circ \]Hinweis: Bei dieser relativ großen Auslenkung macht man bei der Formel für die Schwingungsdauer einen kleinen Fehler.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen