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Aufgabe

Serienschaltung von Federpendeln

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Reihenschaltung von zwei Federn

a)Hängt man an eine Feder ein Massestück mit \(m = 500\,{\rm{g}}\), so schwingt sie mit der Schwingungsdauer \({T_1} = 0{,}50\,{\rm{s}}\).

Berechne die Federhärte \({D_1}\).

b)Hängt man an eine zweite Feder dasselbe Massestück, so schwingt sie mit der Schwingungsdauer \({T_2} = 1{,}0\,{\rm{s}}\).

Berechne die Federhärte \({D_2}\).

c)Nun hängt man die beiden Federn wie in Abb. 1 gezeigt "in Serie" aneinander.

Berechne die Federhärte \({D_\rm{S}}\) der beiden "in Serie geschalteten" Federn.

Berechne, mit welcher Schwingungsdauer die Federkombination schwingt, wenn man das Massestück mit \(m = 500\,{\rm{g}}\) anhängt.

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a)Berechnung der Federhärte aus der Schwingungsdauer:
\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}}  \Rightarrow D = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot m}}{{{T^2}}} \Rightarrow D_1 = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 0,500{\rm{kg}}}}{{{{\left( {0,50{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 79\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

b)Eine analoge Rechnung wie in Teilaufgabe a) führt zu
\[D_2 = 20\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

c)Eine Kraft mit dem Betrag \(F\) dehnt die Feder \(\rm{Fe}_1\) um \(\Delta {x_1} = \frac{F}{{{D_1}}}\), die selbe Kraft dehnt die Feder \(\rm{Fe}_2\) um \(\Delta {x_2} = \frac{F}{{{D_2}}}\). Die Federkombination wird durch die Kraft mit dem Betrag \(F\) also um \(\Delta x = \Delta {x_1} + \Delta {x_2}\) gedehnt. Somit gilt für die Federhärte der Kombination
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{F}{{\Delta x}} = \frac{F}{{\Delta {x_1} + \Delta {x_2}}} = \frac{F}{{\frac{F}{{{D_1}}} + \frac{F}{{{D_2}}}}} = \frac{F}{{F \cdot \left( {\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}}}\]
und weiter
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{D_2}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}} + \frac{{{D_1}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{D_2} + {D_1}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{{{D_1} \cdot {D_2}}}{{{D_1} + {D_2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{{79\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot 20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{79\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} + 20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 16\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer der Kombination
\[{T_{\rm{S}}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{{{D_{\rm{S}}}}}}  \Rightarrow {T_{\rm{S}}} = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{0,500{\rm{kg}}}}{{16\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 1{,}1\,{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Schwingungen