Berechnung der Federhärte aus der Schwingungsdauer:
\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \Rightarrow D = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot m}}{{{T^2}}} \Rightarrow D_1 = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot 0,500{\rm{kg}}}}{{{{\left( {0,50{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 79\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
b)
Eine analoge Rechnung wie in Teilaufgabe a) führt zu
\[D_2 = 20\,\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
c)
Eine Kraft mit dem Betrag \(F\) dehnt die Feder \(\rm{Fe}_1\) um \(\Delta {x_1} = \frac{F}{{{D_1}}}\), die selbe Kraft dehnt die Feder \(\rm{Fe}_2\) um \(\Delta {x_2} = \frac{F}{{{D_2}}}\). Die Federkombination wird durch die Kraft mit dem Betrag \(F\) also um \(\Delta x = \Delta {x_1} + \Delta {x_2}\) gedehnt. Somit gilt für die Federhärte der Kombination
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{F}{{\Delta x}} = \frac{F}{{\Delta {x_1} + \Delta {x_2}}} = \frac{F}{{\frac{F}{{{D_1}}} + \frac{F}{{{D_2}}}}} = \frac{F}{{F \cdot \left( {\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}} \right)}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}}}\]
und weiter
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{D_1}}} + \frac{1}{{{D_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{D_2}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}} + \frac{{{D_1}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{D_2} + {D_1}}}{{{D_1} \cdot {D_2}}}}} = \frac{{{D_1} \cdot {D_2}}}{{{D_1} + {D_2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{D_{\rm{S}}} = \frac{{79\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} \cdot 20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{79\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}} + 20\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}} = 16\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer der Kombination
\[{T_{\rm{S}}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{{D_{\rm{S}}}}}} \Rightarrow {T_{\rm{S}}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{{0,500{\rm{kg}}}}{{16\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}} = 1{,}1\,{\rm{s}}\]
