Ein Freizeitpark stellt Skatern verschiedene Bahnen zur Verfügung. Die Läufer werden im folgenden als Massenpunkte behandelt, die sich auf den Oberflächen der Bahnen reibungsfrei bewegen.
Eine solche Bahn besteht aus zwei Zylinderstücken mit den Radien \(r_1 = 6{,}0\,\rm{m}\) und \(r_2 = 24\,\rm{m}\). Zunächst fährt nur ein Skater auf der Bahn. Die entsprechenden Auslenkungen \(s_1\) nach rechts und \(s_2\) nach links seien klein, sodass die Kleinwinkelnäherung bzw. entsprechende Formeln genutzt werden können.
a)
Bestimme die Periodendauer \(T^*\) dieser Schwingbewegung.
b)
Zwei Skater starten zum Zeitpunkt \(t = 0\,\rm{s}\) aus der Ruhe heraus, Tony an der Stelle \(s_1 (0\,\rm{s}) = 1{,}0\,\rm{m}\) und Nate an der Stelle \(s_2 (0\,\rm{s}) = -2{,}0\,\rm{m}\). Dabei befinden sie sich in der verwendeten Näherung auf gleicher Höhe.
Gib die zu Beginn vorliegenden Bewegungsgleichungen für beide Skater an.
Erläutere, für welche Teilbereiche diese nur gültig sind.
c)
Zeichne für beide Skater das Zeit-Auslenkungs-Diagramm im Bereich \(0\,\rm{s} \leq t \leq 4\,\rm{s}\) (\(t\)-Achse: \(1\,\rm{cm}\,{\buildrel \wedge \over =}\,0{,}5\,\rm{s}\); \(s\)-Achse: \(1\,\rm{cm}\,{\buildrel \wedge \over =}\,0{,}5\,\rm{m}\)).
Entnimm dem Diagramm, zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort sich die Skater begegnen.
Die Bewegung entspricht der Schwingung eines Fadenpendels. Die Schwingungsdauer \(T^*\) der Bewegung in der Bahn setzt sich dabei aus der halben Schwingungsdauer eines Pendels der Länge \(r_1=6{,}0\,\rm{m}\) und der halben Schwingungsdauer des Pendels der Länge \(r_2 = 24\,\rm{m}\) zusammen. Es gilt: \[T^*=\frac{T_1}{2}+\frac{T_2}{2}=\pi\cdot\sqrt{\frac{r_1}{g}}+\pi\cdot\sqrt{\frac{r_2}{g}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[T^*=\pi\cdot\sqrt{\frac{6{,}0\,\rm{m}}{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}}+\pi\cdot\sqrt{\frac{24\,\rm{m}}{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}}=2{,}5\,\rm{s}+4{,}9\,\rm{s}=7{,}4\,\rm{s}\]
b)
Für Tony gilt zu Beginn: \(s_1(t)=1{,}0\,\rm{m} \cdot \cos\left(\sqrt{\frac{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}{6\,\rm{m}}}\cdot t\right)\)
Für Nate gilt zu Beginn: \(s_2(t)=-2{,}0\,\rm{m} \cdot \cos\left(\sqrt{\frac{9{,}81\,\rm{\frac{m}{s^2}}}{24\,\rm{m}}}\cdot t\right)\)
Beide Bewegungsgleichungen gelten jeweils nur so lange, bis sie den tiefsten Punkt ihrer Bahn erreichen und auf den Bereich mit dem anderen Radius wechseln.
c)
Die beiden Skater treffen sich zum Zeitpunkt \(t=1{,}85\,\rm{s}\) am Ort \(s=-0{,}75\,\rm{m}\).
