Lineare Bewegung - Gleichungen

a)\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_A} = {a_A} \cdot {t_A} \Leftrightarrow {a_A} = \frac{{{v_A}}}{{{t_A}}}}\\{{v_B} = {a_A} \cdot {t_0} \Leftrightarrow {t_0} = \frac{{{v_B}}}{{{a_A}}}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {t_0} = \frac{{{v_B}}}{{\frac{{{v_A}}}{{{t_A}}}}} = \frac{{{v_B} \cdot {t_A}}}{{{v_A}}} \Rightarrow {t_0} = \frac{{40\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \cdot 5{\rm{s}}}}{{60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}} = \frac{{10}}{3}{\rm{s}} \approx 3,3{\rm{s}}\]

b)\[\Delta s = {s_B} - {s_A} = {v_B} \cdot {t_0} - \frac{1}{2} \cdot {a_A} \cdot {t_0}^2 = {v_B} \cdot {t_0} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v_A}}}{{{t_A}}} \cdot {t_0}^2\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\Delta s = \frac{{40}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 3,3{\rm{s}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\frac{{60}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{5{\rm{s}}}} \cdot {\left( {3,3{\rm{s}}} \right)^2} \approx 19{\rm{m}}\]

c)\[{s_A} = \frac{1}{2} \cdot {a_A} \cdot {t_A}^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v_A}}}{{{t_A}}} \cdot {t_A}^2 = \frac{1}{2} \cdot {v_A} \cdot {t_A} \Rightarrow {s_A} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{60}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5{\rm{s}} \approx 42{\rm{m}}\] \[{s_B} = {v_B} \cdot {t_A} \Rightarrow {s_B} = \frac{{40}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5{\rm{s}} \approx 56{\rm{m}}\] Nach dem Beschleunigungsvorgang liegt B also um ca. \(56{\rm{m}}-42{\rm{m}}=14{\rm{m}}\) vor A.

d)\(t_{\rm{Ü}}\) sei der Zeitpunkt des Überholens. Dann folgt aus Aufgabenteil c) \({t_{\rm{Ü}}} > {t_A}\). \[{s_A} = \frac{1}{2} \cdot {a_A} \cdot {t_A}^2 + {v_A} \cdot \left( {{t_{\rm{Ü}}} - {t_A}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v_A}}}{{{t_A}}} \cdot {t_A}^2 + {v_A} \cdot \left( {{t_{\rm{Ü}}} - {t_A}} \right) = {v_A} \cdot \left( {{t_{\rm{Ü}}} - \frac{1}{2} \cdot {t_A}} \right)\] Wegen \({s_B} = {v_B} \cdot {t_{\rm{Ü}}}\) und \({s_B} = {s_A}\) ergibt sich \[{v_A} \cdot \left( {{t_{\rm{Ü}}} - \frac{1}{2} \cdot {t_A}} \right) = {v_B} \cdot {t_{\rm{Ü}}} \Leftrightarrow \left( {{v_A} - {v_B}} \right) \cdot {t_{\rm{Ü}}} = \frac{1}{2} \cdot {v_A} \cdot {t_A} \Leftrightarrow {t_{\rm{Ü}}} = \frac{{{v_A} \cdot {t_A}}}{{2 \cdot \left( {{v_A} - {v_B}} \right)}}\] Einsetzten der gegebenen Werte liefert \[{t_{\rm{Ü}}} = \frac{{60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} \cdot 5{\rm{s}}}}{{2 \cdot \left( {60\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} - 40\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}} \right)}} = \frac{{15}}{2}{\rm{s}} = 7,5{\rm{s}}\] sowie dann \[{s_A} = {s_B} = {v_B} \cdot {t_{\rm{Ü}}} \Rightarrow {s_A} = {s_B} = \frac{{40}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 7,5{\rm{s}} \approx 83{\rm{m}}\]

e)