a)Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = 0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), die Endgeschwindigkeit \(v = 1,4\% \cdot c = 1,4\% \cdot 3,00 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und die Strecke \(s = 0,30{\rm{m}}\). Zuerst berechnet man\[v = 1,4\% \cdot c = 1,4\% \cdot 3,00 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,20 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,20 \cdot {10^6} \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 1,51 \cdot {10^7}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]Dann erhält man für die Beschleunigung \(a\)\[{v^2} = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow a = \frac{{{v^2}}}{{2 \cdot s}} \Rightarrow a = \frac{{{{\left( {4,20 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 0,30{\rm{m}}}} = 2,94 \cdot {10^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]und für die Zeit \(t\)\[v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a} \Rightarrow t = \frac{{4,20 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,94 \cdot {{10}^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1,43 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{s}}\]
b)Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \(v = 1,4\% \cdot c = 4,20 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), die Beschleunigung \(a = 3,51 \cdot {10^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) und die Strecke \(s = 1,80{\rm{m}}\). Mit\[{v^2} - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow {v^2} = 2 \cdot a \cdot s + v_0^2 \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot a \cdot s + v_0^2} \]ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte\[v = \sqrt {2 \cdot 3,51 \cdot {{10}^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1,80{\rm{m}} + {{\left( {4,20 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}} = 1,20 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Dies sind\[p\% = \frac{{1,20 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,040 = 4,0\% \]der Lichtgeschwindigkeit. Für die Zeit \(t\) erhält man\[v = a \cdot t + {v_0} \Leftrightarrow t = \frac{{v - {v_0}}}{a} \Rightarrow t = \frac{{1,20 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 4,20 \cdot {{10}^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,51 \cdot {{10}^{13}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 2,22 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{s}}\]
c)Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = 4,0\% \cdot c = 1,20 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), die Endgeschwindigkeit \(v = 31,4\% \cdot c = 9,41 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und die Strecke \(s = 30{\rm{m}}\). Man erhält für die Beschleunigung \(a\)\[{v^2} - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow a = \frac{{{v^2} - v_0^2}}{{2 \cdot s}} \Rightarrow a = \frac{{{{\left( {9,41 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - {{\left( {1,20 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 30{\rm{m}}}} = 1,45 \cdot {10^{14}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]und für die Zeit \(t\)\[v = a \cdot t + {v_0} \Leftrightarrow t = \frac{{v - {v_0}}}{a} \Rightarrow t = \frac{{9,41 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 1,20 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,45 \cdot {{10}^{14}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 5,65 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{s}}\]
d)Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = 31,4\% \cdot c = 9,41 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), die Endgeschwindigkeit \(v = 91,6\% \cdot c = 2,75 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und die Zeit \(t = 1,20{\rm{s}}\). Man erhält für die Beschleunigung \(a\)\[v = a \cdot t + {v_0} \Leftrightarrow a = \frac{{v - {v_0}}}{t} \Rightarrow a = \frac{{2,75 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 9,41 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,20{\rm{s}}}} = 1,50 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]und für die Strecke \(s\)\[s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} + {v_0} \cdot t \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 1,50 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {1,20{\rm{s}}} \right)^2} + 9,41 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,20{\rm{s}} = 2,21 \cdot {10^8}{\rm{m}}\]
