Lineare Bewegung - Gleichungen

Mechanik

Lineare Bewegung - Gleichungen

  • Was versteht man unter einem Zeit-Orts-Diagramm?
  • Geschwindigkeit - Beschleunigung – was ist denn der Unterschied?
  • Wie bestimmt man eine Momentangeschwindigkeit?
  • Von Reaktionszeiten und Bremswegen …

Vorbemerkung

Zur Vereinfachung werden in diesem Kapitel meist nur eindimensionale Bewegungen betrachtet. Dies bedeutet, dass sich das bewegte Objekt nur längs einer Geraden bewegt.

Will man die Bewegung eines Gegenstands (z.B. Modellauto) dokumentieren, so kann man die Bewegung beispielsweise filmen. Beim Film wird jedem Bild von der in die Kamera eingebauten Uhr ein Zeitpunkt zugeordnet. Den Ort des Autos kann man z.B. gut feststellen, wenn die Bewegung vor einem Maßband ablaufen lässt und dieses Maßband mitgefilmt wird.

Anstelle der Kamera genügt zur Feststellung der Zeitpunkte an denen sich das Auto an einem bestimmten Ort befindet bereits eine gewöhnliche Uhr. Notiert man z.B. zu jeder Sekunde den Ort an dem sich das Auto befindet, so ist Bewegung vollständig dokumentiert. In einer Tabelle kann man die Zeit-Orts-Wertepaare niederlegen.

Zeit-Orts-Tabelle (die Daten beziehen sich auf die folgende Animation)

t in s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
x in m 20 20 20 20 20 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 60 60 60 60 60 60 61
t in s 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
x in m 62 64 66 69 72 76 80 85 90 95 99 103 107 111 114 117 120 123 123 123 123 123 123 121 120 119 118 116 115 114 113 111 110

Zeit - Orts - Diagramm

Etwas anschaulicher als in einer Tabelle ist die Darstellung der Bewegung im sogenannten Zeit-Orts-Diagramm. Üblicherweise wählt man die Ortsachse als Hochwertachse und die Zeitachse als Rechtswertachse. Merke: Immer die zuerst genannte Achse ist die horizontale oder Rechtswertachse (vergleiche hierzu auch das \(x\)-\(y\)-Diagramm in der Mathematik)

2 Erstellung eines Zeit-Ort-Diagramms aus der Beobachtung einer Bewegung

Hinweis: Völlig "ruckartige" Bewegungsänderungen kommen in der Praxis nicht vor. Dies bedeutet, dass die "Knicke" im Zeit-Orts-Diagramm eigentlich nicht sinnvoll sind. Zugunsten einer einfacheren Darstellung leisten wir uns diese Ungenauigkeit.

Aus der Animation können einige allgemeine Erkenntnisse und Vorgehensweisen abgeleitet werden:

  • Damit der jeweilige Ort des Gegenstands eindeutig festgelegt werden kann, führt man eine Ortsachse ein. Die Richtung der Ortsachse legt man in die (überwiegend) auftretende Bewegungsrichtung.

  • Meist legt man den Nullpunkt der Ortsachse an die Stelle, wo die Bewegung beginnt (dies ist bei der Animation nicht der Fall gewesen).

  • Waagrechte Teile des Zeit-Orts-Graphen signalisieren, dass der Gegenstand in dem Zeitintervall ruht (Abschnitte 1, 4 und 7).

  • Steigt der Zeit-Orts-Graph an (positive Geradensteigung, bzw. positive Tangentensteigung bei gekrümmten Graphen), so bewegt sich der Gegenstand in Richtung der festgelegten Ortsachse (Abschnitte 2, 3, 5 und 6).

  • Fällt der Zeit-Orts-Graph (negative Geradensteigung, bzw. negative Tangentensteigung bei gekrümmten Graphen), so bewegt sich der Gegenstand entgegen der Richtung der festgelegten Ortsachse (der Gegenstand bewegt sich rückwärts wie in Abschnitt 8).

  • Je schneller sich der Gegenstand bewegt desto höher ist der Betrag der Steigung des Graphen, d.h. die Steigung im Zeit-Orts-Diagramm ist ein Maß für die Geschwindigkeit des Gegenstands (vergleiche hierzu Abschnitt 2 mit 3).

  • Bei einem gekrümmten Zeit-Orts-Graphen gilt:

    • Nimmt die Steigung mit der Zeit zu, so handelt es sich um eine beschleunigte Bewegung (der Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu wie in Abschnitt 5).

    • Nimmt die Steigung mit der Zeit ab, so handelt es sich um eine verzögerte Bewegung (der Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab wie in Abschnitt 6).

Häufige Fehlvorstellung: Das obige t-x-Diagramm verleitet leicht zur (falschen) Annahme, dass z.B. das Auto eine Fahrt über mehrere Gebirgspässe macht und das Diagramm das entsprechende Höhenprofil ist (dann würde aber ein x-y-Diagramm vorliegen). Tatsächlich führt das Auto eine eindimensionale Bewegung in der Horizontalen aus. Die Rechtswertachse ist keine Orts- sondern eine Zeitachse.

Für die im Zeit-Orts-Diagramm vorgestellte Bewegung wird in der folgenden Animation nochmals (allerdings verkleinert) dargestellt. Unter diesem Zeit-Orts-Diagramm (\(t\)-\(x\)-Diagramm) findest du das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm (\(t\)-\(v\)-Diagramm).

1 Erstellung eines Zeit-Geschwindigkeits-Diagramms aus einem Zeit-Orts-Diagramm

Hinweis: Völlig "ruckartige" Bewegungsänderungen kommen in der Praxis nicht vor. Dies bedeutet, dass die "Knicke" auch im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm eigentlich nicht sinnvoll sind. Zugunsten einer einfacheren Darstellung leisten wir uns diese Ungenauigkeit.

Aus der Animation können einige allgemeine Erkenntnisse abgeleitet werden:

  • Ein horizontaler Verlauf des Graphen im \(t\)-\(v\)-Diagramm weist auf eine gleichförmige Bewegung hin.

  • Liegt der horizontale Verlauf des \(t\)-\(v\)-Graphen auf der \(t\)-Achse, so ruht der Körper (\(v = 0\)).

  • Ansteigende bzw. abfallende Kurventeile im \(t\)-\(v\)-Diagramm weisen auf Beschleunigungsvorgänge hin (Änderung des Geschwindigkeitsbetrags bei der eindimensionalen Bewegung).

Es gibt einen tieferen mathematischen Zusammenhang zwischen den Zeit-Ort- und dem Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm von Bewegungen: aus dem Zeit-Ort-Diagramm lässt sich zu jedem Zeitpunkt die momentane Geschwindigkeit bestimmen, umgekehrt aber auch aus dem Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm zu jedem Zeitpunkt der momentane Ort (bei Kenntniss des Startortes) bestimmen.

Die folgenden Animationen in den Abb. 1 und 2 zeigen diesen Zusammenhang am einfachen Beispiel einer gleichförmigen Bewegung.

1 Erstellung eines Zeit-Geschwindigkeit-Diagramms aus einem gegebenen Zeit-Ort-Diagramm am Beispiel von gleichförmigen Bewegungen
Vom Zeit-Ort-Diagramm zum Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm

Graphische Interpretation

Zu jedem Zeitpunkt \(t\) einer Bewegung ist die Steigung im \(t\)-\(x\)-Diagramm im Punkt \((t|x)\) ein Maß für die Geschwindigkeit \(v\) zum Zeitpunkt \(t\).

2 Erstellung eines Zeit-Geschwindigkeit-Diagramms aus einem gegebenen Zeit-Ort-Diagramm am Beispiel einer gleichförmigen Bewegung
Vom Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm zum Zeit-Ort-Diagramm

Graphische Interpretation

Zu jedem Zeitpunkt \(t\) einer Bewegung ist der Inhalt der Fläche unter dem \(t\)-\(v\)-Diagramm zwischen \(0\) und \(t\) ein Maß für den zwischen \(0\) und \(t\) zurückgelegten Weg.

Addiert man zum Anfangsort \(x_0\) diesen Wert , so erhält man den Ort \(x\) zum Zeitpunkt \(t\).

Hinweis: Diese Aussagen gelten streng genommen nur für Bewegungen, die in einer Richtung ohne Rückwärtsbewegung verlaufen.

 

Eine gleichförmige Bewegung ist eine Bewegung mit gleichbleibender (konstanter) Geschwindigkeit und ohne Richtungsänderung. Mithilfe der folgenden Bewegungsgleichungen kannst du eine gleichförmige Bewegung beschreiben und so viele Problemstellungen rechnerisch lösen.

Bewegungsgleichungen der gleichförmigen Bewegung

Für eine gleichförmige Bewegung gelten die folgenden Bewegungsgesetze:

Zeit-Ort-Gesetz: \(x(t)=v\cdot t + x_0\)
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: \(v(t)=v\)
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: \(a(t)=0\)

mit \(t\): Zeit, \(x\): Ort, \(x_0\): Startort, \(v\): Geschwindigkeit und \(a\): Beschleunigung.

Grafische Darstellung von gleichförmigen Bewegungen

In der folgenden Simulation hast du die Möglichkeit, die Zeit-Ort-, Zeit-Geschwindigkeit- und Zeit-Beschleunigung-Diagramme von gleichförmigen Bewegungen mit positiven und negativen Geschwindigkeiten und verschiedenen Anfangsbedingungen zu betrachten.

Startort
xo
Geschwindigkeit
v
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
x(t) v(t) a(t) = 0
1 Verschiedene Varianten von gleichförmigen Bewegungen in Form von Zeit-Ort-, Zeit-Geschwindigkeit- und Zeit-Beschleunigung-Diagrammen

Wenn du den Artikel über die gleichförmige Bewegung durchgearbeitet hast, wirst du sofort erkennen, dass das nebenstehende Diagramm, das die geradlinige Fahrt eines Autos dokumentiert, keine gleichförmige Bewegung beschreibt.

Aufgabe

Charakterisiere die in dem Diagramm dargestellte Bewegung in Worten.

Lösung

Die Bewegung beginnt bei \(x = 0\).

Im ersten Abschnitt zwischen \(t = 0\) und \(t = {t_1}\;(0 < t < {t_1})\) wird das Auto immer schneller. Man kann dies daran erkennen, dass die zurückgelegten Wegstrecken \(\Delta x\) bei fester Zeitspanne \(\Delta t\) zunehmen.

Im zweiten Abschnitt \(({t_1} < t < {t_2})\) wird das Auto wieder langsamer (vgl. Animation unten).

Im dritten Abschnitt \(({t_2} < t < {t_3})\) steht das Auto, da mit fortscheitender Zeit keine Ortsänderung stattfindet.

2 \(t\)-\(x\)-Diagramm einer ungleichförmigen Bewegung

Es ist offensichtlich, dass bei der betrachteten Bewegung Zeit und Ort nicht zueinander direkt proportional sind, dass also keine gleichförmige Bewegung vorliegt.

Um die "Schnelligkeit" einer nicht gleichförmigen Bewegung beschreiben zu können, haben die Physiker die Begriffe Durchschnittsgeschwindigkeit \({\bar v}\) (auch mittlere Geschwindigkeit genannt) und Momentangeschwindigkeit \(v\) geschaffen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit charakterisiert die "Schnelligkeit" in einem (meist größeren) Zeitraum, die Momentangeschwindigkeit beschreibt die "Schnelligkeit" in einem Zeitpunkt.

 

Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

Als Durchschnittgeschwindigkeit (oder mittlere Geschwindigkeit) \(\bar v\) einer Bewegung zwischen zwei Zeitpunkten \(t_{\rm{A}}\) und \(t_{\rm{E}}\) ("A" steht für den Anfang und "E" für das Ende der Bewegung) definieren wir den Quotienten aus der zwischen diesen beiden Zeitpunkten zurückgelegten Strecke \(\Delta x = x_{\rm{E}}-x_{\rm{A}} = x(t_{\rm{E}})-x(t_{\rm{A}})\) und der verstrichenen Zeitspanne \({\Delta t}=t_{\rm{E}}-t_{\rm{A}}\):\[\bar v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{{x_{\rm{E}}} - {x_{\rm{A}}}}}{{{t_{\rm{E}}} - {t_{\rm{A}}}}}\]Für die Maßeinheit der Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich\[[\bar v] = \frac{{[\Delta x]}}{{[\Delta t]}} = \frac{1\,\rm{m}}{1\,\rm{s}} = 1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

3 Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit einer Bewegung anhand des \(t\)-\(x\)-Diagramms

Hinweis

Wahrscheinlich wirst du dir denken, dass diese Festlegung genauso ist wie die Festlegung der Geschwindigkeit bei der gleichförmigen Bewegung. Die Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit ist jedoch nicht nur auf die gleichförmige Bewegung beschränkt, sondern ist auf alle Bewegungstypen anwendbar.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen zweier Bewegungen, deren Durchschnittsgeschwindigkeiten (bezogen auf den gesamten Bewegungszeitraum) übereinstimmen, die aber trotzdem sehr verschieden sind:

Um Details in der "Schnelligkeit" einer Bewegung beschreiben zu können, hat man in der Physik den Begriff der Momentangeschwindigkeit eingeführt.

Wenn wir die Momentangeschwindigkeit beim Bewegungsablauf in der linken Grafik, mit einfachen Werkzeugen ermitteln wollen, werden wir unsere Kenntnisse über die Durchschnittsgeschwindigkeit einsetzen.