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Aufgabe

Die Ampel schaltet um

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Als die Ampel auf Gelb schaltet, befindet sich ein Auto mit der Geschwindigkeit \({v_0} = 54\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) in einer Entfernung \({x_1} = 25\,{\rm{m}}\) vor der Haltelinie. Der Fahrer beschleunigt und passiert die Linie mit \({v_1} = 72\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\).

Berechnen, wie lange die Gelbphase dauern müsste, damit das Auto, das weiter beschleunigt, am Ende der Gelbphase die Straße der Breite \(\Delta x = 12\,{\rm{m}}\) überquert hat.

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gegeben: \({v_0} = 54\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 15\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ; \({v_1} = 72\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ; \({x_1} = 25\,{\rm{m}}\) ; \({x_2} = {x_1} + \Delta x = 25\,{\rm{m}} + 12\,{\rm{m}} = 37\,{\rm{m}}\).

 

gesucht: Dauer \(t_2\) der Gelbphase

Berechnung der Beschleunigung des Autos:
\[{v_1}^2 - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot {x_1} \Leftrightarrow a = \frac{{{v_1}^2 - {v_0}^2}}{{2 \cdot {x_1}}} \Rightarrow a = \frac{{{{\left( {20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - {{\left( {15\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 25{\rm{m}}}} \approx 3,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Berechnung der Zeitdauer \(t_2\) der konstant beschleunigten Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit:
\[{x_2} = {v_0} \cdot {t_2} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_2}^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t_2}^2 + {v_0} \cdot {t_2} - {x_2} = 0\]
Die sinnvolle Lösung dieser Quadratischen Gleichung für die Zeit \(t_2\) lautet (da das Minuszeichen vor der Wurzel eine negative Zeit \(t_2\) ergeben würde)
\[{t_2} = \frac{{ - {v_0} \pm \sqrt {{v_0}^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left( { - {x_2}} \right)} }}{{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot a}} = \frac{{ - {v_0} \pm \sqrt {{v_0}^2 + 2 \cdot a \cdot {x_2}} }}{a}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{t_2} = \frac{{ - 15 \pm \sqrt {{{15}^2} + 2 \cdot 3,5 \cdot 37} }}{{3{,}5}}\,{\rm{s}} \approx 2{,}0\,{\rm{s}}\]
Die Dauer der Gelbphase muss also 2,0 s sein.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Lineare Bewegung - Gleichungen