Ein Autofahrer fährt nachts auf einer Schnellstraße mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h. Er sieht plötzlich in 80 m Entfernung ein Hindernis auftauchen und bremst sofort (d.h. Reaktionszeit wird vernachlässigt). Trotzdem prallt er mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h auf das Hindernis auf.
a)Berechne die Bremsverzögerung und die Bremszeit.
b)Bei dem Zusammenstoß kommt der Wagen innerhalb einer Strecke von 0,50 m endgültig zum Stehen.
Berechne die Verzögerung während des Zusammenpralls.
c)Berechne, bei welcher Höchstgeschwindigkeit der Unfall hätte vermieden werden können.
Aus dem Geschwindigkeits-Orts-Gesetz ergibt sich
\[{v^2} - {v_0}^2 = 2 \cdot a \cdot x \Leftrightarrow a = \frac{{{v^2} - {v_0}^2}}{{2 \cdot x}} \Rightarrow a = \frac{{{{\left( {8,33\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} - {{\left( {33,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 80{\rm{m}}}} = - 6,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Aus dem Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz lässt sich nun die Bremszeit berechnen:
\[v(t) = a \cdot t + {v_0} \Leftrightarrow t = \frac{{v(t) - {v_0}}}{a} \Rightarrow t = \frac{{8,33\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 33,3\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{ - 6,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 3,8{\rm{s}}\]
Aus dem Geschwindigkeits-Orts-Gesetz ergibt sich \[{0^2} - {v_0}{^*}{^2} = 2 \cdot a \cdot x \Leftrightarrow {v_0}{^*}{^2} = - 2 \cdot a \cdot x \Rightarrow {v_0}^* = \sqrt { - 2 \cdot a \cdot x}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{v_0}^* = \sqrt { - 2 \cdot - 6,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 80{\rm{m}}} = 32,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 116\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\] Man sieht, dass bei nur geringfügig verminderter Geschwindigkeit der Unfall zu vermeiden gewesen wäre.
