Direkt zum Inhalt

Versuche

Kugel in rotierender Rinne

Ziel des Versuchs

  • Demonstration der Massenunabhängigkeit der Kugelposition
  • Ermittlung der Steighöhe \(h\) in Abhängigkeit von Winkelgeschwindigkeit und Geometrie der Rinne

Aufbau und Durchführung

kugel-in-rinne-aufbau.jpg
Abb. 1 Versuchsaufbau

In einer halbkreisförmig aufgebauten Rinne befinden sich zunächst zwei Kugeln gleicher Masse. Diese Anordnung kannst du mithilfe eines Motors mit variabler Drehzahl in Rotation versetzen. Dabei beobachtest du die Position der beiden Kugeln in Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit, also der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).

In einem zweiten Teilversuch platzierst du zwei Kugeln unterschiedlicher Massen in der Rinne. Du versetzt die Anordnung wiederum in Rotation und beobachtest die Position der beiden Kugeln.

Durchführung und Erklärung im Video

Beobachtung

Die Kugeln bewegen sich mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) immer weiter nach außen bzw. oben. In Teilversuch 2 befinden sich auch die unterschiedlich schweren Kugeln immer in gleicher Höhe \(h\) über der Ausgangslage. Die Masse \(m\) der Kugel hat also keinen Einfluss auf die Steighöhe.

Erklärung

kugel_in_rinne_kraeftebetrachtung1.svg
Abb. 3 Kräftebetrachtung und geometrische Betrachtung

Auf die Kugel wirken die Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) und die Normalkraft \({{\vec F}_{\rm{N}}}\) der Rinne, die immer senkrecht zur Unterlage gerichtet ist. Wird die Rinne nun in Rotation versetzt, so bewirkt die Trägheit der Kugelmasse, dass die Kugel sich nach außen bewegt, bis Gewichtskraft und Normalkraft zusammen eine resultierende Zentripetalkraft \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) bewirken, die senkrecht zur Rotationsachse (also waagerecht) und auf die Achse zu gerichtet ist. Diese Zentripetalkraft hat keine nach oben oder unten gerichtete Komponente mehr und hält nur die Kugel auf der Kreisbahn.

Für \(\tan(\alpha)\) gilt in diesem Fall \[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{ZP}}}}}} = \frac{{m \cdot g}}{{m \cdot {\omega ^2} \cdot r}} = \frac{g}{{{\omega ^2} \cdot r}}\quad (1)\] Dass sich die Masse \(m\) der Kugel in Gleichung (1) gerade herauskürzt, erklärt, warum im zweiten Teilversuch auch die Kugeln mit unterschiedlicher Masse auf gleiche Höhe steigen.

Bestimmung der Höhe \(h\)

kugel_in_rinne_geometrische_betrachtung.svg
Abb. 4 Geometrische Betrachtung

Mithilfe geometrischer Überlegungen lässt sich weiter auch die Höhe \(h\) in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und vom Radius der Rinne \(R\) bestimmen, in welche die Kugeln steigen. Aus den geometrischen Überlegungen folgt für \(\tan(\alpha)\) \[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{R - h}}{r}\quad (2)\] Gleichsetzen der beiden Gleichungen (1) und (2) führt zu \[\frac{g}{{{\omega ^2} \cdot r}} = \frac{{R - h}}{r} \Leftrightarrow \frac{g}{{{\omega ^2}}} = R - h \Leftrightarrow h = R - \frac{g}{{{\omega ^2}}}\]

\(h\) kann selbstverständlich nicht kleiner als 0 sein! Für \(R - \frac{g}{{{\omega ^2}}} \le 0\) geht die Kugel in die Null-Lage und nur falls \({\omega ^2} > \frac{g}{R}\) gibt es eine stabile Lage unterschiedlich der Null-Lage.

Anmerkung: Man kann auch im rotierenden Bezugssystem mit Hilfe der Zentrifugalkraft argumentieren und aus der Zentrifugalkraft und der Gewichtskraft vektoriell eine Kraft addieren, die senkrecht zur Unterlage der Bodendruckkraft das Gleichgewicht hält.

Aufgabe

Erläutere, wie sich die Position der Kugel verändert, wenn du das Experiment nicht auf der Erde sondern auf dem Mond durchführen würdest.

Lösung

Die Fallbeschleunigung \(g\) ist auf dem Mond mit \(g_{\rm{Mond}}=1{,}62\,\rm{\frac{m}{s^2}}\) deutlich geringer als auf der Erde. Entsprechend würde die Kugel auf dem Mond bei gleicher Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) höher steigen als auf der Erde.

Umgekehrt ausgedrückt: Auf dem Mond wird eine Höhe \(h\) der Kugel bereits bei einer geringeren Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) erreicht.