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Aufgabe

Potentielle Energie im homogenen Gravitationsfeld

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Bei der Bewegung eines Körpers der Masse \(m\) im Gravitationsfeld der Erde ändert sich in der Regel die potentielle Energie dieses Körpers. Um die Betrachtung möglichst einfach zu halten, gehen wir davon aus, dass sich die Gravitationskraft (= Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\)) längs des Weges nicht ändert, d.h. wir gehen von einem annähernd homogenen Gravitationsfeld (wie es näherungsweise in der Nähe der Erdoberfläche besteht) aus. Außerdem wollen wir annehmen, dass die kinetische Energie des betrachteten Körpers im Anfangspunkt A der Bewegung gleich der kinetischen Energie im Endpunkt B der Bewegung ist (d.h. \(\Delta {E_{{\rm{kin}}}}=0\)).

Abb. 1 Bewegungen zweier Körper in einem homogenen Gravitationsfeld

Berechne die Änderung der potentiellen Energie \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) in den beiden dargestellten Fällen a) und b) in Abhängigkeit von den in der Skizze dargestellten Größen.

Beachte auch das Vorzeichen von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) (Zunahme der potentiellen Energie: \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}>0\); Abnahme der potentiellen Energie: \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}<0\)).

Nimm an, dass die potentielle Energie auf dem Erdboden den Wert Null hat (freie Wahl des Nullpunkts der potentiellen Energie).

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Aus dem Mechanik-Unterricht ist bekannt, dass die potentielle Energie eines Körpers nach der Beziehung\[{E_{{\rm{pot}}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot h\]zu berechnen ist. Dabei ist \(h\) die Höhe über dem vereinbarten Nullniveau der potentiellen Energie, in diesem Beispiel die Höhe über der Erdoberfläche. Für die Gewichtskraft gilt in der Nähe der Erdoberfläche \({F_{\rm{G}}} = m \cdot g\), so dass für die potentielle Energie geschrieben werden kann\[{E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot h\]Für die Änderung der potentiellen Energie gilt dann\[\begin{eqnarray}\Delta {E_{{\rm{pot}}}} &=& {E_{{\rm{pot}}{\rm{,nachher}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,vorher}}}}\\ &=& {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}}\\ &=& m \cdot g \cdot {h_{\rm{B}}} - m \cdot g \cdot {h_{\rm{A}}}\\ &=& m \cdot g \cdot \left( {{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}} \right)\end{eqnarray}\]

Abb. 2 Bewegungen zweier Körper in einem homogenen Gravitationsfeld

a)Hier gilt \({h_{\rm{B}}} < {h_{\rm{A}}}\). Der Betrag von \({{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}}\) ist gleich der Länge der Strecke \({s_{{\rm{AB}}}}\), so dass gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}<0\]

Eine andere Möglichkeit, die Änderung der potentiellen Energie zu berechnen geht über die Arbeitsberechnung: Die Gewichtskraft beschleunigt den Körper von A nach B. Für die Beschleunigungsarbeit gilt bei konstanter Kraft\[{W_{{\rm{Beschleunigung}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]Bei B ist die kinetische Energie des Körper um den Betrag \(m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\) höher als bei A. Aufgrund des Energiesatzes muss die potentielle Energie bei B um diesen Betrag kleiner sein, so dass gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]

b)Auch hier gilt \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot \left( {{h_{\rm{B}}} - {h_{\rm{A}}}} \right)\). Da nun \({h_{\rm{B}}} > {h_{\rm{A}}}\) ist, gilt in diesem Fall\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = \left( + \right) m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]Eine leicht verschiedene Möglichkeit die Änderung der potentiellen Energie zu bestimmen könnte wie folgt aussehen: Um den Körper von A nach B zu bringen, muss an dem System von außen die Hubarbeit\[{W_{{\rm{Hub}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]verrichtet werden. Diese Hubarbeit führt zu einer Erhöhung der potentiellen Energie, somit gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = m \cdot g \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]