Gravitationsgesetz und -feld

Joachim Herz Stiftung

Nach dem 2. NEWTONschen Axiom kann man den Ortsfaktor aus der Gravitationskraft berechnen:
\[{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r^2}}} \Rightarrow g(r) = \frac{{{F_{\rm{G}}}(r)}}{m} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r^2}}}\]
Für die Erdoberfläche gilt
\[g({r_{{\rm{Erde}}}}) = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {6,368 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,835\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Um den Graphen zeichnen zu können, muss man die \(\frac{1}{{{r^2}}}\)-Abhängigkeit von \(g\) beachten.

Es gilt
\[\begin{eqnarray}g({r_{{\rm{Erde}}}}) - g({r_{{\rm{Erde}}}} + h) &=& G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} - G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}}\\ &=& G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} - \frac{1}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}}} \right)\\ &=& G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2} - {r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2 \cdot {{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}}} \right)\\ &=& G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2 + 2 \cdot {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h + {h^2} - {r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}}^2 + {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h} \right)}^2}}}} \right)\\ &=& G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h + {h^2}}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}}^2 + {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h} \right)}^2}}}} \right)\end{eqnarray}\]
Für \({{r_{{\rm{Erde}}}} \gg h}\) gilt \({{h^2} \ll 2 \cdot {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h}\) und \({{r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h \ll {r_{{\rm{Erde}}}}^2}\) und damit
\[g({r_{{\rm{Erde}}}}) - g({r_{{\rm{Erde}}}} + h) \approx G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot {r_{{\rm{Erde}}}} \cdot h}}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}}^2} \right)}^2}}}} \right) = G \cdot {m_{{\rm{Erde}}}} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot h}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^3}}} \right)\]
Damit ergibt sich
\[\Delta {g_{\rm{100m}}} = g({r_{{\rm{Erde}}}}) - g({r_{{\rm{Erde}}}} + 100{\rm{m}})\]
und Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\Delta {g_{\rm{100m}}} = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5,977 \cdot {10^{24}}{\rm{kg}} \cdot \left( {\frac{{2 \cdot 100{\rm{m}}}}{{{{\left( {6,368 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^3}}}} \right) = 3,098 \cdot {10^{ - 4}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Hinweis: Wenn du bei dieser Rechnung nicht zuerst allgemein rechnest, sondern separat die Ortsfaktoren (die Erdbeschleunigungen) in den verschiedenen Höhen berechnest, kommst du mit der gültigen Stellenzahl in Schwierigkeiten. Da man näherungsweise davon ausgehen kann, dass sich der Ortsfaktor in dem relativ kleinen Bereich von \(100\rm{m}\) linear verändert, gilt
\[\Delta {g_\rm{1m}} = 3,098 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

Der Unterschied in der Gewichtskraft der Kugeln bei \(21\rm{m}\) Höhenunterschied ist
\[\Delta {F_{{\rm{G,21m}}}} = m \cdot 21 \cdot \Delta {g_{{\rm{1m}}}} = 5,00000{\rm{kg}} \cdot 21 \cdot 3,098 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 3,243 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{N}}\]
Man muss daher auf die höher gelegene Waagschale die Masse \(\Delta m\) auflegen:
\[\Delta m = \frac{{\Delta {F_{{\rm{G,21m}}}}}}{g} = \frac{{3,243 \cdot {{10}^{ - 4}}{\rm{N}}}}{{9,835\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 33{\rm{mg}}\]

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Der Ortsfaktor (die Erdbeschleunigung) wird bei Annäherung an den Erdmittelpunkt kleiner. Die von dem äußeren (blauen) Ring auf den Punkt P ausgeübten Kräfte heben sich insgesamt auf. Auf P wirken also nur noch die Gravitationskräfte der Massenelemente der kleineren und daher masseärmeren roten Kugel. Die kleinere Gravitationskraft bedeutet aber auch ein kleineres \(g\).