Gravitationsgesetz und -feld

Joachim Herz Stiftung

In Stellung B bewirkt die Anziehung der Kugeln eine Verdrillung des Fadens an dem die kleinen Kugeln hängen. Es stellt sich ein Gleichgewicht der Drehmomente ein. Am Ort einer kleinen Kugel bewirkt der verdrillte Faden eine Kraft (Torsionskraft), die der anziehenden Gravitationskraft gegengleich ist.

Nach dem raschen Umlegen der großen Kugeln wirkt im ersten Augenblick auf jede der kleinen Kugeln die "Torsionskraft" und in die gleiche Richtung die "neue" Gravitationskraft. Auf eine kleine Kugel wirkt also die Kraft
\[F = 2 \cdot G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{{b^2}}}\]
Damit ergibt sich für die Beschleunigung
\[{a_0} = \frac{F}{m} = \frac{{2 \cdot G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{{b^2}}}}}{m} = 2 \cdot G \cdot \frac{M}{{{b^2}}}\]

Für die Strecke \(s\), welche die kleine Kugel bei der Auslenkung der drehbaren "Hantel" zurücklegt, gilt
\[s = \frac{1}{2} \cdot {a_0} \cdot {t^2} \Leftrightarrow {a_0} = \frac{{2 \cdot s}}{{{t^2}}} \quad(1)\]
Bestimmung der Strecke \(s\) aus anderen - messbaren - Längen:
\[s = \Delta \varphi  \cdot d \quad(2)\]
Wenn sich die "Hantel" mit den kleinen Massen um den Winkel \(\Delta \varphi \) dreht, so dreht sich der Lichtzeiger um den Winkel \(2 \cdot \Delta \varphi \). Es gilt dann
\[2 \cdot \Delta \varphi  \approx \frac{S}{L} \Leftrightarrow \Delta \varphi  \approx \frac{S}{{2 \cdot L}} \quad(3)\]
Setzt man \((3)\) in \((2)\), so folgt
\[s \approx \frac{S}{{2 \cdot L}} \cdot d \quad(4)\]
Setzt man schließlich \((4)\) in \((1)\), so ergibt sich die Beschleunigung
\[{a_0} \approx 2 \cdot \frac{S}{{2 \cdot L}} \cdot d \cdot \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{d \cdot S}}{{{t^2} \cdot L}}\]

Durch Kombination der Ergebnisse der Teilaufgaben a) und b) erhält man die Gravitationskonstante
\[2 \cdot G \cdot \frac{M}{{{b^2}}} = \frac{{d \cdot S}}{{{t^2} \cdot L}} \Leftrightarrow G = \frac{{d \cdot S \cdot {b^2}}}{{2 \cdot M \cdot {t^2} \cdot L}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[G = \frac{{0,050{\rm{m}} \cdot 0,023{\rm{m}} \cdot {{\left( {0,046{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1,5{\rm{kg}} \cdot {{\left( {45{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot 6,9{\rm{m}}}} = 5,8 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Der Literaturwert ist \(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).