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Aufgabe

Gravitationskonstante mit Drehwaage

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

In der Ausgangsstellung B der beiden großen Kugeln mit je der Masse \(M\) ist die Drehwaage in der ungestrichelt gezeichneten Stellung. Werden die großen Kugeln umgelegt (Stellung A), so werden die kleinen Kugeln mit der Masse \(m\) auf die großen Massen hin beschleunigt. Es kommt zu einer Schwingung der Drehwaage.

a)Zeigen Sie, dass für die anfängliche Beschleunigung \({a_0}\) der Drehwaage gilt
\[{a_0} = 2 \cdot G \cdot \frac{M}{{{b^2}}}\]

b)Es werde angenommen, dass die Bewegung der Drehwaage zu Beginn eine konstant beschleunigte Bewegung ist. Den Weg \(s\) der kleinen Kugeln stellt man mit dem Lichtzeiger vergrößert dar: Lichtzeiger bewegt sich um die Strecke \(S\). Leiten Sie für die Anfangsbeschleunigung den Ausdruck
\[{a_0} = \frac{{d \cdot S}}{{{t^2} \cdot L}}\]
her.

c)Berechnen Sie die Gravitationskonstante aus den Messwerten \(b = 4,6{\rm{cm}}\), \(d = 5,0{\rm{cm}}\), \(M = 1,5{\rm{kg}}\), \(L = 6,9{\rm{m}}\), \(t = 45{\rm{s}}\) und \(S = 2,3{\rm{cm}}\).

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a)In Stellung B bewirkt die Anziehung der Kugeln eine Verdrillung des Fadens an dem die kleinen Kugeln hängen. Es stellt sich ein Gleichgewicht der Drehmomente ein. Am Ort einer kleinen Kugel bewirkt der verdrillte Faden eine Kraft (Torsionskraft), die der anziehenden Gravitationskraft gegengleich ist.

Nach dem raschen Umlegen der großen Kugeln wirkt im ersten Augenblick auf jede der kleinen Kugeln die "Torsionskraft" und in die gleiche Richtung die "neue" Gravitationskraft. Auf eine kleine Kugel wirkt also die Kraft
\[F = 2 \cdot G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{{b^2}}}\]
Damit ergibt sich für die Beschleunigung
\[{a_0} = \frac{F}{m} = \frac{{2 \cdot G \cdot \frac{{M \cdot m}}{{{b^2}}}}}{m} = 2 \cdot G \cdot \frac{M}{{{b^2}}}\]

b)Für die Strecke \(s\), welche die kleine Kugel bei der Auslenkung der drehbaren "Hantel" zurücklegt, gilt
\[s = \frac{1}{2} \cdot {a_0} \cdot {t^2} \Leftrightarrow {a_0} = \frac{{2 \cdot s}}{{{t^2}}} \quad(1)\]
Bestimmung der Strecke \(s\) aus anderen - messbaren - Längen:
\[s = \Delta \varphi  \cdot d \quad(2)\]
Wenn sich die "Hantel" mit den kleinen Massen um den Winkel \(\Delta \varphi \) dreht, so dreht sich der Lichtzeiger um den Winkel \(2 \cdot \Delta \varphi \). Es gilt dann
\[2 \cdot \Delta \varphi  \approx \frac{S}{L} \Leftrightarrow \Delta \varphi  \approx \frac{S}{{2 \cdot L}} \quad(3)\]
Setzt man \((3)\) in \((2)\), so folgt
\[s \approx \frac{S}{{2 \cdot L}} \cdot d \quad(4)\]
Setzt man schließlich \((4)\) in \((1)\), so ergibt sich die Beschleunigung
\[{a_0} \approx 2 \cdot \frac{S}{{2 \cdot L}} \cdot d \cdot \frac{1}{{{t^2}}} = \frac{{d \cdot S}}{{{t^2} \cdot L}}\]

c)Durch Kombination der Ergebnisse der Teilaufgaben a) und b) erhält man die Gravitationskonstante
\[2 \cdot G \cdot \frac{M}{{{b^2}}} = \frac{{d \cdot S}}{{{t^2} \cdot L}} \Leftrightarrow G = \frac{{d \cdot S \cdot {b^2}}}{{2 \cdot M \cdot {t^2} \cdot L}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[G = \frac{{0,050{\rm{m}} \cdot 0,023{\rm{m}} \cdot {{\left( {0,046{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1,5{\rm{kg}} \cdot {{\left( {45{\rm{s}}} \right)}^2} \cdot 6,9{\rm{m}}}} = 5,8 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Der Literaturwert ist \(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld