Schätze die Masse des Erdmondes aus der Erdmasse, der Mondumlaufdauer und der Entfernung Erde-Mond ab. Betrachte dazu die Rotation der Erde und des Mondes um den gemeinsamen Schwerpunkt.
Hinweis: Verwende folgende Daten: Umlaufdauer des Mondes um die Erde: \(27{,}3\,\rm{d}\); Mittlere Entfernung Erde-Mond: \(385000\,\rm{km}\); Masse der Erde: \(5{,}977 \cdot 10^{24}\,\rm{kg}\)
Würde man den Schwerpunkt des Systems in den Erdmittelpunkt setzen und den üblichen Ansatz machen, dass nämlich die Gravitationskraft als Zentripetalkraft wirkt, so würde die Mondmasse bei der Rechnung "herausfallen". Tatsächlich rotieren aber Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt S.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Lösung
Die Gravitationskraft wirkt hier als Zentripetalkraft:
\[G \cdot \frac{{{m_M} \cdot {m_E}}}{{r_{EM}^2}} = {m_M} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \cdot {d_2} \quad(1)\]
Der Schwerpunktssatz besagt:
\[{m_E} \cdot {d_1} = {m_M} \cdot {d_2}\quad(2)\]
Außerdem gilt
\[{d_1} + {d_2} = {r_{EM}} \Leftrightarrow {d_1} = {r_{EM}} - {d_2}\quad(3)\]
Aus \((2)\) und \((3)\) folgt
\[{m_E} \cdot \left( {{r_{EM}} - {d_2}} \right) = {m_M} \cdot {d_2} \Leftrightarrow {d_2} = \frac{{{m_E} \cdot {r_{EM}}}}{{\left( {{m_M} + {m_E}} \right)}}\quad(4)\]
Setzt man \((4)\) in \((1)\) ein, so ergibt sich die Mondmasse:
\[G \cdot \frac{{{m_M} \cdot {m_E}}}{{r_{EM}^2}} = {m_M} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \cdot \frac{{{m_E} \cdot {r_{EM}}}}{{\left( {{m_M} + {m_E}} \right)}} \Leftrightarrow {m_M} = {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} \cdot \frac{{r_{EM}^3}}{G} - {m_E}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{m_M} = {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{27,3 \cdot 24 \cdot 3600}}} \right)^2} \cdot \frac{{{{\left( {385 \cdot {{10}^6}} \right)}^3}}}{{6,673 \cdot {{10}^{ - 11}}}}{\rm{kg}} - 5,977 \cdot {10^{24}}{\rm{kg}} = 9,1 \cdot {10^{22}}{\rm{kg}}\] Hinweis: Der Literaturwert der Mondmasse ist \(7,3 \cdot {10^{22}}{\rm{kg}}\).
