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Aufgabe

Wettersatellit

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Illustration eines Meteosat Wettersatelliten,
Copyright: ESA/D.Ducros

a)Berechne, in welcher Höhe über dem Äquator ein Wettersatellit stehen muss, wenn er immer denselben Ausschnitt der Erdoberfläche beobachten soll.

Berechne auch den Betrag der Geschwindigkeit, die ein solcher Satellit dann hat.

b)Untersuche, welche Kreisbahnen für Erdsatelliten überhaupt möglich sind. Erläutere insbesondere, warum ein solcher Satellit nicht ständig über dem \(50^\circ \)-Breitenkreis der Erde fliegen kann.

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a)Die Satellitenmasse sei \({{m_{\rm{S}}}}\), der Radius der Satellitenbahn sei \({{r_{\rm{S}}}}\). Die am Satelliten angreifende Gravitationskraft wird vollständig als Zentripetalkraft wirksam. Somit ergibt sich
\[{F_{\rm{G}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow G \cdot \frac{{m \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}} = {m_{\rm{S}}} \cdot \frac{{{v^2}}}{{{r_{\rm{S}}}}} = {m_{\rm{S}}} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{{2 \cdot \pi  \cdot {r_{\rm{S}}}}}{T}} \right)}^2}}}{{{r_{\rm{S}}}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {r_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{S}}}}}{{{T^2}}} \Rightarrow {r_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{m \cdot G \cdot {T^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{r_{\rm{S}}} = \sqrt[3]{{\frac{{6,0 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}} \cdot 6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^2}}} \cdot {{\left( {1 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\rm{s}}} \right)}^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2}}}}} = 4,23 \cdot {10^7}{\rm{m}}\]
Für die Höhe \(h\) über dem Erdboden gilt
\[{r_{\rm{S}}} = {r_{\rm{E}}} + h \Leftrightarrow h = {r_{\rm{S}}} - {r_{\rm{E}}} \Rightarrow h = 4,23 \cdot {10^7}{\rm{m}} - 6,37 \cdot {10^6}{\rm{m}} = 3,6 \cdot {10^7}{\rm{m}} = 36000{\rm{km}}\]
Für den Betrag der Bahngeschwindigkeit folgt
\[v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot {r_{\rm{S}}}}}{T} \Rightarrow v = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 4,23 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}}}{{1 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60{\rm{s}}}} = 3,1 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 3,1\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]

b)Wenn Erdsatelliten Kreisbahnen beschreiben sollen, dann muss der Erdmittelpunkt M (Erdschwerpunkt) zugleich Mittelpunkt dieser Kreisbahn sein (Großkreis-Bahn). Es ist nicht möglich, dass ein Satellit ständig über dem \(50^\circ \)-Breitenkreis fliegt.

Angenommen es gäbe eine solche Bahn. Dann würde die Gravitationskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) am Satelliten als einzige äußere Kraft angreifen. Um die angenommene Kreisbahn zu beschreiben, müsste eine Komponente \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) von \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) als Zentripetalkraft für diese Kreisbahn sorgen. Die dabei zwangsläufig auftretende zweite Komponente \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) würde den Satelliten senkrecht zu dieser Kreisebene beschleunigen. Die Bahn würde sich also verändern. Eine solche Veränderung findet genau dann nicht statt, wenn die Komponente \({{\vec F}_{\rm{B}}}\) überhaupt nicht auftritt. Dies ist der Fall, wenn \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) und \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) gleichgerichtet sind, der Satellit also auf einem Großkreis fliegt.