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Aufgabe

Eisenhowers Frage

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Modell des Sputnik 1
von NSSDC, NASA[1] [Public domain],
via Wikimedia Commons

Praktisch jeder Einwohner der USA war erstaunt und beunruhigt, als die UdSSR die erste Runde des Weltraumwettlaufs mit dem Start des ersten Erdsatelliten Sputnik im Jahre 1957 gewann. Die wichtigste Frage war die Masse der Nutzlast (Raumschiff), die die UdSSR in Umlauf bringen konnte. Genau das war die Frage, die der damalige Präsident der Vereinigten Staaten, Dwight David „Ike“ Eisenhower (1890 - 1969) seinen wissenschaftlichen Ratgebern stellte:

"Alles was wir sicher über den Sputnik wissen, sind Höhe und Umlaufgeschwindigkeit. Können Sie aus diesen Informationen die Masse von Sputnik berechnen?" Die wissenschaftlichen Ratgeber antworteten:

a)"Ja, das können wir,"

b)"Nein, das können wir nicht."

Entscheide, welche der obigen beiden Aussagen korrekt ist und begründe deine Entscheidung.

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Die richtige Antwort ist b).

Genau wie Steine mit verschiedenen Massen in gleicher Weise fallen, wenn kein Luftwiderstand vorhanden ist, und genau wie Projektile verschiedener Massen, die mit der gleichen Geschwindigkeit abgeschossen werden, gleichen Flugbahnen folgen, kreisen Satelliten jeglicher Masse, die sich mit gleicher Geschwindigkeit auf gleicher Höhe bewegen, auf der Umlaufbahn um die Erde. Verdoppelt man die Masse \(m_{\rm{S}}\) eines Satelliten, so benötigt man auch die doppelte Zentralkraft:
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {v^2}}}{{{r_{\rm{S}}}}}\]
um ihn bei unveränderter Geschwindigkeit auf der Bahn zu halten. Die Kraft, die dies besorgt ist die Gravitationskraft des Satelliten auf dieser Höhe. Für sie gilt
\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{S}}} \cdot {m_{\rm{E}}}}}{{{r_{\rm{S}}}^2}}\]
Auch sie ist wegen ihrer Proportionalität zu \(m_{\rm{S}}\) dann doppelt so groß.

Die Masse von Sputnik könnte man nur durch eine Sondierung bestimmen. Würde z.B. ein anderer Satellit bekannter Masse und Geschwindigkeit auf Sputnik stoßen, so könnte man die Rückprallgeschwindigkeit messen und so die Masse von Sputnik durch die Impulserhaltung bestimmen. Ohne Wechselwirkung kann die Masse aber anhand der Umlaufbahn nicht bestimmt werden.