Die beiden Marsmonde Phobos (von griech. Φόβος „Furcht“) und Deimos (von griech. Δείμος „Schrecken“) wurden im Jahr 1877 vom US-amerikanischen Astronomen Asaph HALL am US Naval Observatory in Washington, D.C. entdeckt.
Phobos bewegt sich in \(7\) Stunden \(39\) Minuten auf einer fast kreisförmigen Umlaufbahn in \(5985\,\rm{km}\) Entfernung von der Marsoberfläche einmal um den Mars herum. Deimos umkreist den Mars auf einer Kreisbahn vom Radius \(23{,}5 \cdot {10^3}\,{\rm{km}}\).
a)
Berechne aus den Angaben die Masse des Mars. [Kontrollergebnis: \({m_{\rm{M}}} = 6,42 \cdot {10^{23}}{\rm{kg}}\)]
b)
Berechne die Bahngeschwindigkeit von Deimos.
c)
Berechne die Umlaufdauer von Deimos.
d)
Erläutere, ob man aus diesen Informationen die Masse von Deimos bestimmen kann.
Hinweis: Der mittlere Durchmesser des Mars beträgt \(6770\,\rm{km}\).
Bei der Kreisbewegung von Phobos um den Mars wirkt die Gravitationskraft des Mars als Zentripetalkraft. Somit gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{P}}} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot {\omega ^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_{\rm{P}}}^2}}\]
Mit \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\) bzw. \({\omega ^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}\) ergibt sich
\[{m_{\rm{P}}} \cdot {r_{\rm{P}}} \cdot \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{P}}} \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_{\rm{P}}}^2}} \Leftrightarrow {m_{\rm{M}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {r_{\rm{P}}}^3}}{{G \cdot {T^2}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert unter Beachtung von \({r_{\rm{P}}} = 5985{\rm{km}} + \frac{1}{2} \cdot 6770{\rm{km}} = 9370{\rm{km}} = 9,37 \cdot {10^6}{\rm{m}}\) sowie \(T = 7{\rm{h}}39{\rm{min}} = 7 \cdot {\rm{60}} \cdot {\rm{60s}} + 39 \cdot 60{\rm{s}} = 27540{\rm{s}}\)
\[{m_{\rm{M}}} = \frac{{4{\pi ^2} \cdot {{\left( {9,37 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {27540{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 6,42 \cdot {10^{23}}{\rm{kg}}\]
b)
Auch bei der Kreisbewegung von Deimos um den Mars wirkt die Gravitationskraft des Mars als Zentripetalkraft. Somit gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{D}}} \cdot \frac{{{v^2}}}{{{r_{\rm{D}}}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{D}}} \cdot {m_{\rm{M}}}}}{{{r_{\rm{D}}}^2}} \Leftrightarrow {v^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{M}}}}}{{{r_{\rm{D}}}}} \Rightarrow v = \sqrt {G \cdot \frac{{{m_{\rm{M}}}}}{{{r_{\rm{D}}}}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[v = \sqrt {6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{6,42 \cdot {{10}^{23}}{\rm{kg}}}}{{23,5 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}} = 1,35 \cdot {10^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,35\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Aus
\[v = \frac{u}{T} = \frac{{2\pi \cdot r}}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2\pi \cdot r}}{v}\]
ergibt sich durch Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte
\[T = \frac{{2\pi \cdot 23,5 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}}}{{1,35 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 1,10 \cdot {10^5}{\rm{s}} \approx 30,6{\rm{h}}\]
d)
Aus der Bestimmung von Bahnradius und Umlaufdauer eines Mondes lässt sich zwar die Masse des Zentralkörpers, nicht aber die Masse des Mondes bestimmen. Der Grund hierfür ist, dass sich bei der Gleichung, die durch den Ansatz "Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft" entsteht, die Masse des Mondes herauskürzt:
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{M}}} \cdot \frac{{{v^2}}}{{{r_{\rm{M}}}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{M}}} \cdot {m_{\rm{Z}}}}}{{{r_{\rm{M}}}^2}} \Leftrightarrow \frac{{{v^2}}}{{{r_{\rm{M}}}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{Z}}}}}{{{r_{\rm{M}}}^2}}\]
