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Aufgabe

Der Zwergstern Sirius B

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Der weiße Zwergstern Sirius B hat die Masse unserer Sonne, aber nur den \(0{,}02\)-fachen Sonnenradius.

a)Berechne die Gravitationsbeschleunigung, die ein Körper auf der Oberfläche von Sirius erfahren würde.

b)Berechne die mittlere Dichte von Sirius B.

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a)Das Gravitatonsgesetzt lautet
\[{F_G} = G \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\]
wobei \(G\) die Gravitationskonstante mit \(G={6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\), \({{m_1}}\) und \({{m_2}}\) die beiden Massen und \(r\) der Abstand der Schwerpunkte der beiden Massen ist.
Wegen \(F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\) gilt somit für die Gravitationsbeschleunigung eines Himmelskörpers der Masse \(m\) im Abstand \(r\) von dessen Mittelpunkt
\[{a_G} = G \cdot \frac{m}{{{r^2}}}\]
Einsetzen von \(m = {m_{{\rm{Sonne}}}} = 1,99 \cdot {10^{30}}{\rm{kg}}\) und \(r = 0,02 \cdot {r_{{\rm{Sonne}}}} = 0,02 \cdot 6,96 \cdot {10^8}{\rm{m}} = 1,39 \cdot {10^7}{\rm{m}}\) ergibt
\[{a_G} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,99 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {1,39 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 6,87 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

b)Für die Dichte eines Körpers gilt
\[m = \rho  \cdot V \Leftrightarrow \rho  = \frac{m}{V}\]
und mit \(V = {V_{{\rm{Kugel}}}} = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3}\)
\[\rho  = \frac{{1,99 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}}{{\frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {{\left( {1,39 \cdot {{10}^7}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 1,77 \cdot {10^8}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1,77 \cdot {10^{5}}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]