Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Bestimmung der Gravitationskonstante aus dem Ortsfaktor

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Genaue Messungen des Ortsfaktors ergeben in Deutschland für die Städte Hamburg \({g_{{\rm{HH}}}} = 9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\), Köln \({g_{\rm{K}}} = 9{,}811426\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) und München \({g_{\rm{M}}} = 9{,}807232\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\).

Daten: \(m_{\rm{Erde}} = 5{,}9722 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\) ; \(r_{\rm{Erde}} = 6371{,}0\,\rm{km}\)

a)

Berechne für die Stadt, die deinem Wohnort am nächsten ist, aus diesem Ortsfaktor den Wert der Gravitationskonstante \(G\).

b)

Diskutiere dieses Vorgehen zur Bestimmung der Gravitationskonstante \(G\).

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Der Ortsfaktor z.B. \(g_{\rm{HH}} = 9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) bedeutet, dass ein Körper der Masse \(m\) in Hamburg eine Gewichtskraft von \[F_{\rm{G}}=m \cdot g_{{\rm{HH}}} \quad(1)\] erfährt.

Andererseits sollte sich diese Gewichtskraft nach dem Gravitationsgesetz durch\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \quad(2)\]berechnen lassen.

Gleichsetzen der beiden rechten Seiten von \((1)\) und \((2)\) ergibt\[m \cdot {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}} \cdot m}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{{\rm{HH}}}} = G \cdot \frac{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Leftrightarrow G = \frac{{{g_{{\rm{HH}}}} \cdot {r_{{\rm{Erde}}}}^2}}{{{m_{{\rm{Erde}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[G = \frac{{9{,}813730\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot {{\left( {6371{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{5{,}9722 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}} = 6{,}6698 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{N}}{{\rm{m}}^2}\]

b)

Die Bestimmung der Erdmasse kann nur in Abhängigkeit von der Gravitationskonstanten \(G\) erfolgen. Diese hat Henry CAVENDISH (1731 - 1810) im Jahr 1798 mit einer Gravitationswaage zum ersten Mal bestimmt. Daraus konnte er die Masse und die Dichte der Erde berechnen.

Die angedeutet Methode ist somit - falls die Masse der Erde zur Berechnung der Gravitationskonstante \(G\) benutzt wird - eine Zirkelrechnung. Durch die Messung des Ortsfaktors lässt sich also die Gravitationskonstante \(G\) nicht bestimmen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Gravitationsgesetz und -feld