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Aufgabe

Jupitermond Kallisto

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der Jupitermond Kallisto braucht zu einem Umlauf um den Planeten auf einer kreisförmigen Bahn mit dem Radius \(r = 1{,}88 \cdot {10^6}\,{\rm{km}}\) die Zeit von \(16\) Tagen und \(17\) Stunden.

a)Berechne aus den obigen Angaben die Jupitermasse.

b)Berechne die Schwerebeschleunigung an der Jupiteroberfläche, wenn sein Durchmesser \(1{,}43 \cdot {10^5}\,{\rm{km}}\) beträgt.

c)Berechne die Gewichtskraft, die ein Mann mit der Masse \(81{,}5\,\rm{kg}\) auf der Jupiteroberfläche erfahren würde.

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a)Die Gravitationskraft wirkt hier als Zentripetalkraft. Damit ergibt sich
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{G}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{K}}} \cdot r \cdot {\omega ^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}} \cdot {m_{\rm{K}}}}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow r \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}}}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{J}}} = \frac{{{r^3}}}{G} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T}} \right)^2}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{m_{\rm{J}}} = \frac{{{{\left( {1,88 \cdot {{10}^9}{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6,67 \cdot {{10}^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \cdot {\left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{16 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}} + 17 \cdot 3600{\rm{s}}}}} \right)^2} = 1,89 \cdot {10^{27}}{\rm{kg}}\]

b)Gleichsetzen von Masse mal Beschleunigung mit der Gravitationskraft ergibt
\[m \cdot {g_{\rm{J}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}} \cdot m}}{{{R_{\rm{J}}}^2}} \Leftrightarrow {g_{\rm{J}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{J}}}}}{{{R_{\rm{J}}}^2}} \Rightarrow {g_{\rm{J}}} = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{1,89 \cdot {{10}^{27}}{\rm{kg}}}}{{{{\left( {\frac{{1,43 \cdot {{10}^8}{\rm{m}}}}{2}} \right)}^2}}} = 24,7\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \approx 2,5{g_{\rm{E}}}\]

c)Berechnung der Gewichtskraft auf dem Jupiter:
\[{F_{{\rm{G,J}}}} = m \cdot {g_{\rm{J}}} \Rightarrow {F_{{\rm{G,J}}}} = 81,5{\rm{kg}} \cdot 24,7\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 2013\,{\rm{N}}\]