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Aufgabe

Rund um die Fallbeschleunigung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)Beschreibe zwei prinzipiell unterschiedliche Experimente zur Bestimmung des Betrags \(g\) der Fallbeschleunigung  auf der Erdoberfläche.

b)Leite mit Hilfe des Gravitationsgesetzes einen Term \(g(r)\) her, die außerhalb der Erde die Abhängigkeit des Betrags \(g\) der Fallbeschleunigung vom Abstand \(r\) zum Erdmittelpunkt beschreibt.

c)Berechne mit Hilfe des Terms aus Teilaufgabe b) den Betrag der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche sowie in \(10\,\rm{km}\), \(100\,\rm{km}\) sowie \(10000\,\rm{km}\) über dem Erdboden.

d)Berechne mit Hilfe des Terms aus Teilaufgabe b), in welchen Höhen über der Erdoberfläche der Betrag der Fallbeschleunigung \(90\% \), \(10\% \) sowie \(1\% \) der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche mit \(g = 9{,}83\,\rm{\frac{m}{s^2}}\) beträgt.

e)Der Betrag \(g\) der Fallbeschleunigung auf Meereshöhe hängt u.a. von der geographischen Breite \(\varphi \) des jeweiligen Ortes ab. Gib eine "Je-Desto-Beziehung" zwischen geographischer Breite und Fallbeschleunigung an. Erläutere den Grund für diese Abhängigkeit zwischen \(\varphi \) und \(g\).

f)Erläutere, welche lokalen geographischen Besonderheiten \(g\) noch beeinflussen können.

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a)Zum einen kann man die Fallbeschleunigung durch ein Fallexperiment bestimmen: Man lässt einen Körper eine festgelegte Strecke von z.B. \(s=1,00\rm{m}\) frei fallen und misst die dafür benötigte Zeitspanne von z.B. \(t=0,451\rm{s}\). Die Fallgeschleunigung ergibt sich dann durch
\[s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Leftrightarrow g = \frac{{2 \cdot s}}{{{t^2}}} \Rightarrow g = \frac{{2 \cdot 1,00{\rm{m}}}}{{{{\left( {0,451{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 9,83\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Zum anderen kann man die Fallbeschleunigung - in diesem Fall oft Ortsfaktor genannt - mit Hilfe eines kalibrierten Kraftmessers bestimmen: Man hängt einen Körper mit bekannter Masse \(z.B. m=0,100\rm{kg}\) an den Kraftmesser und misst die Gewichtskraft des Körpers von z.B. \({F_{\rm{G}}} =0,983\rm{N}\). Der Ortsfaktor ergibt sich dann durch
\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Leftrightarrow g = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{m} \Rightarrow g = \frac{{0,983{\rm{N}}}}{{0,100{\rm{kg}}}} = 9,83\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\]
Die Maßeinheiten sind wegen
\[1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = \frac{{{\rm{1N}}}}{{{\rm{1kg}}}} = \frac{{{\rm{1kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{{\rm{1kg}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
gleich.

b)Das Gravitationsgesetz beschreibt u.a. den Betrag \(F_\rm{G}\) der Kraft zwischen zwei Körpern der Massen \(m_1\) und \(m_2\), deren Schwerpunkte sich im Abstand \(r_{12}\) voneinander befinden und lautet
\[{F_{\rm{G}}} = G \cdot \frac{{{m_{\rm{1}}} \cdot {m_{\rm{2}}}}}{{{r_{{\rm{12}}}}^2}}\;;\;G = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Wir interessieren uns hier für den Fall, in dem der eine der beiden Körper die Erde mit \({m_1} = {m_{{\rm{Erde}}}} = 5,977 \cdot {10^{24}}{\rm{kg}}\), der andere Körper eine beliebige masse \(m_2=m\) hat und der Abstand des Körpers vom Mittelpunkt der Erde größer als der Erdradius ist, d.h. \(r_{12} = r \ge {r_{{\rm{Erde}}}}\). Damit ergibt sich
\[{F_{\rm{G}}}(r) = G \cdot \frac{{m \cdot {m_{{\rm{Erde}}}}}}{{{r^2}}} \Rightarrow {F_{\rm{G}}}(r) = 6,673 \cdot {10^{ - 11}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{{m \cdot 5,977 \cdot {{10}^{24}}{\rm{kg}}}}{{{r^2}}} = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{m}{{{r^2}}}\]
Für die Fallbeschleunigung ergibt sich dann
\[{F_{\rm{G}}}(r) = m \cdot g(r) \Leftrightarrow g(r) = \frac{{{F_{\rm{G}}}(r)}}{m} \Rightarrow g(r) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}\]

c)\[g({r_{{\rm{Erde}}}}) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{r_{{\rm{Erde}}}}^2}} \Rightarrow g({r_{{\rm{Erde}}}}) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {6,371 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,83\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
\[g({r_{{\rm{Erde}}}} + 10\rm{km}) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {6,381 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,79\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
\[g({r_{{\rm{Erde}}}} + 100\rm{km}) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {6,471 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9,52\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
\[g({r_{{\rm{Erde}}}} + 10000\rm{km}) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {16,371 \cdot {{10}^6}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 1,49\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

d)Stellt man die Gleichung aus Aufgabenteil b) um, so ergibt sich
\[g({r_{{\rm{Erde}}}} + h) = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{r_{{\rm{Erde}}}} + h} \right)^2 = 3,988 \cdot {10^{14}}\frac{\rm{m}^{\rm{3}}}{\rm{s}^{\rm{2}}}} \cdot \frac{1}{ g(r_{\rm{Erde}}+h) } \Rightarrow h = \sqrt {3,988 \cdot {{10}^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{g({r_{{\rm{Erde}}}} + h)}}}  - {r_{{\rm{Erde}}}}\]
Damit ergibt sich
\[{h_{90\% }} = \sqrt {3,988 \cdot {{10}^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{90\%  \cdot 9,83\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  - 6,371 \cdot {10^6}{\rm{m}} = 3,43 \cdot {10^5}{\rm{m}} = 343{\rm{km}}\]
\[{h_{10\% }} = \sqrt {3,988 \cdot {{10}^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{10\%  \cdot 9,83\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  - 6,371 \cdot {10^6}{\rm{m}} = 1,38 \cdot {10^7}{\rm{m}} = 13800{\rm{km}}\]
\[{h_{1\% }} = \sqrt {3,988 \cdot {{10}^{14}}\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \frac{1}{{1\%  \cdot 9,83\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  - 6,371 \cdot {10^6}{\rm{m}} = 5,73 \cdot {10^7}{\rm{m}} = 57300{\rm{km}}\]

e)Sieht man von dem (von uns bisher nicht berücksichtigten) Einfluss der Zentrifugalbeschleunigung ab, so hat die Abplattung der Erde den größten Einfluss auf die Fallbeschleunigung. Da der Radius der Erde am Pol (\(\varphi  = 90^\circ \)) nur \(6,357 \cdot {10^6}{\rm{m}}\), am Äquator (\(\varphi  = 0^\circ \)) dagegen \(6,378 \cdot {10^6}{\rm{m}}\) beträgt, befindet man sich am Pol näher am Erdmittelpunkt als am Äquator. Betrachtet man den in Teilaufgabe b) hergeleiteten Term, so zeigt sich, dass ein kleinerer Abstand eine größere Fallbeschleunigung bedeutet. Die "Je-Desto"-Aussage lautet demnach "Je größer die geographische Breite, desto größer die Fallbeschleunigung".

f)Weitere Einflüsse auf die Fallbeschleunigung sind die Höhe über dem Meeresspiegel und die geologische Beschaffenheit des Untergrundes.